-앞서보기------------------------------------------------------
[상대성이론에서의 관측] http://gall.dcinside.com/physicalscience/98916
[특수상대성이론의 개념 - 1] http://gall.dcinside.com/physicalscience/98932
-------------------------------------------------------------
이번에 다룰 개념은 두 가지다.
1) 로렌츠 변환
2) 상대론적 속도 합
이 두 가지 개념을 이해해보자
1) 로렌츠 변환
1차원 수직선 공간을 떠올려 보자. 수직선 위에서 위치 0에서부터 오른쪽 방향으로 초당 1의 속력으로 달리는 사람이 있다고 하자.
이 사람도 자신만의 수직선을 가지고 있어 자신의 위치가 항상 0이라 생각한다. 달리기 시작하고 3초 후에 위치 -2에서 초신성 폭발이 일어났다고 하자.
초신성 폭발이 일어난 것을 사건이라 부를 수 있는데 위치가 -2, 시간이 3초일 때 일어났으니 이 사건을 좌표처럼 (-2, 3)라 나타낼 수 있다.
(x, t) 처럼 위치를 나타내는 좌표에 시간을 끼워 넣었으니 이 것을 시공간의 좌표라 부른다. 시공간의 좌표는 사건을 말하는 것이다.
그렇다면 달리는 사람에게는 초신성 폭발이 언제, 어디서 일어났다고 볼까? 밑의 그림을 보자.
달리는 사람한테는 초신성 폭발이 3초일 때 위치 -5에서 일어 났다고 관측 할 것이다. (자신의 위치가 항상 0이라 생각한다.)
즉 정지한 좌표계에서 (-2, 3)인 사건이 달리는 사람에게는 (-5, 3)이 된 것이다.
이것을 일반화 시켜 정지한 좌표계에서 (x, t)인 사건을 속도 v로 달리는 관찰자가 (x', t')으로 관측 할 때 (x', t')을 구하는 식을 세울 수 있다.
위에서 다뤘던 v=1, x=-2, t=3 을 대입해보면 x'=-5, t'=3이 나온다. 이러한 변환을 갈릴레이 변환이라 부른다.
하지만 이 변환은 특수상대성이론을 고려하지 않아서 동시성의 상대성, 시간 팽창, 길이 수축을 설명 할 수 없다.
이제 이 변환의 업그레이드 버전인 로렌츠 변환을 시간 팽창과 길이 수축을 사용하여 유도할 것이다.
그러기 위해 다음 시계 문제를 짚고 넘어가 보자.
지면에 두 장소 A, B에 시계가 있고 이 시계에 대해 정지한 관찰자가 있다. 또 로렌츠 인자가 이 되도록 하는
v의 속력으로 움직이는 시계우주선에 탄 관찰자도 있다. (v의 값은 약)
정지한 관찰자가 관측하였을 때 시계우주선이 A에 있을 때 모든 시계가 0을 가리키고 있었다. 우주선이 오른쪽으로 이동해 B에 도착하는데
100초가 걸려 A, B에 정지한 시계는 100초를 가리키고 우주선의 시계는 시간 팽창 효과로 10배 느리게 흘러가 10초를 가리킨다.
이 상황을 우주선에 탄 관찰자는 어떻게 바라볼까? 먼저 같은 위치에서 동시에 일어난 두 사건은 어느 관성계에서 관측하여도 동시여야 한다.
그러므로 시계우주선이 A에 있을 때 우주선의 시계와 A에 있는 정지한 시계가 0을 가리키는 두 사건은 동시이고
시계우주선이 B에 있을 때 우주선의 시계가 10초를 가리키고 B에 있는 정지한 시계가 100초를 가리키는 두 사건도 동시여야 한다.
그렇다면 우주선이 A에 있을 때 B에 있는 정지한 시계와 우주선이 B에 있을 때 A에 있는 정지한 시계는 몇 초를 가리킬까?
우주선에 탄 사람이 관측하기에는 정지한 두 시계가 운동하니 정지한 시계가 시간이 느리게 흘러가는 것으로 관측한다.
즉 10초동안 우주선이 A에서 B로 이동하면서 정지한 시계 A, B는 10배 느리게 흘러가 1초의 시간이 흐른다. 물음표를 채우면 다음 그림이 된다.
이제 이것을 일반화 하여 문자로 나타내면 다음과 같다.
이제 위 두 그림을 통해 로렌츠 변환을 유도해보자.
정지한 관성계에서 위치 x에 있던 정지한 시계가 t를 가리키는 사건을 E라고 하자.
속도 v로 움직이는 관찰자는 사건 E를 움직이는 시계(오른쪽 시계)가 t를 가리킬 때 일어난다고 볼 것이다.
즉 움직이는 관찰자 시점에서 시간이 0일 때 를 가리키는 시계가
를 가리키려면
의 시간이 흘러야 하는데 시간 팽창 효과에 의해 느리게 흘러가는 시계이므로
만큼의 시간이 흘러야 사건이 일어난다.
또 움직이는 관찰자는 처음 시계의 위치를 라 생각하므로
만큼의 시간이 지난 뒤에는
시계가 에 있다고 관측한다. 이로써 구한 관계식을 쓰면
이다. 이러한 변환을 로렌츠 변환이라 부른다.
2) 상대론적 속도 합
속력 v로 오른쪽으로 달리는 트럭 위에 트럭에서 보기에 속력 u로 오른쪽으로 움직이는 자동차가 있다.
정지한 관찰자가 보기에 자동차의 속력을 V라 하면 V는 어떤 값일까?
경험적으로 속도의 더하기는 V=v+u이지만 특수 상대성 이론에서는 좀 다르다.
로렌츠 변환을 이용하여 상대론적 속도 합 공식을 구해보자.
트럭에 탄 사람 시점으로 자동차의 출발사건과 도착사건을 (x1, t1), (x2, t2)라 하면 이다.
트럭에 대해 -v의 속도(왼쪽방향으로 속력 v)로 움직이는 정지한 관찰자(검은색)에게 이 두 사건이 로렌츠 변환에 따라 (x1', t1'), (x2', t2')가 된다면
이것이 속도의 합 공식이다.
다음 글은 상대론적 질량과 E=mc^2을 유도하겠습니다.
*그림참고 https://pixabay.com/
가독성이 존나 떨어지네요
ㄴ니새끼 강의보다는 몇배는 좋은데?
로렌츠변환은 통용되는 방법과 다르게 유도하였습니다.
지금까지 물갤에서 이런 강의가 불가능하다고 생각했는데 저의 그 잘못된 통념을 깨부셨군요 앞으로 계속 이런 유익한 강의해주시길 부탁드립니다