좌표변환


좌표변환이 왜 물리학에서 중요한 개념이지? 뭔 헛소리지 라고 생각할 수 있는데 좌표변환이라는 건 보기보다 굉장히 중요한 것임


먼저. 혹시 물갤러 찐따들은 스칼라함수와 벡터함수의 차이를 어떻게 알고 있니?


방향이 없으면 아무튼 스칼라고 방향이 있으면 아무튼 벡터임? 아무튼 그런거임?


사실 그게 아니고 좌표변환을 했을 때 함수 값의 변화가 있으면 벡터함수/ 없으면 스칼라 함수임


쉽게 설명해서 12kg의 물체를 좌표변환 했을 때 12kg의 질량은 변함이 없지// 하지만 이 물체의 위치는 벡터이기 때문에 위치벡터가 변화한단다.


속도/힘/전기장/자기장/가속도 모두 벡터이기 때문에 좌표변환을 하면 그 값이 변화한다.

에너지/질량/라그랑지안/해밀토니안 모두 스칼라이기 때문에 좌표변환을 하면 그 값이 변화하지 않는다.

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두 번째로. 좌표변환이라는 것은 물리학에 일반화라는 궁극의 목적에 도달할 수 있게 해준다.


물갤 찐따들은 좌표계에 데카르트 좌표계만 있는 줄 아는 많은 찐따들이 있을텐데, 실제로 구면좌표계, 원통좌표계 등등의 무수히 많은 좌표계가 있으며,


물리학의 법칙과 공식은 어떠한 좌표계를 잡던지 간에 일반적으로 설명이 가능해야지 실제 우리가 편하게 사용할 수 있는 진짜 물리학이 되는 것이지


그렇게 때문에 우리는 오직 데카르트 좌표계에서 국한되지 않고 역학에서는 보통 일반 좌표계를 사용한단다.


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자 이제 첫번째와 두번째를 잘 보자 첫번째에서 스칼라는 좌표변환에 대해서 변하지 않는다고 했지?

그리고 라그랑지안도 스칼라라고 했다.


라그랑지안이 뭐냐고?


L=T-V ; 운동에너지 빼기 위치에너지라는 아주 단순한 공식이란다.


그러면 라그랑지안은 좌표변환에 대해서 불변이여야 겠네? ~~~ 여윾시 스칼라가 편하군~~~


자 그런데 여기서 중요한 것은 라그랑지안의 독특한 법칙이 있지~~ 바로 해밀턴의 원리인 최소 작용의 법칙이란다.~~~


그 법칙에 나온 공식은 오일러-라그랑지안 방정식이라고 하며, 공식으로 쓰면 다음과 같다


\\\\\\\\frac{d}{d t}\\\\\\\\frac{\\\\\\\\partial L}{\\\\\\\\partial\\\\\\\\dot q} = \\\\\\\\frac{\\\\\\\\partial L}{\\\\\\\\partial q}


위의 공식은 분명하게 해밀턴의 원리 이전에 나온 공식이며, 뉴턴의 운동방정식을 에너지로 바뀐 공식이란다. 즉 뉴턴의 운동방정식 = 오일러-라그랑지안 방정식이지


차이점은 뭘까? 바로 뉴턴의 운동방정식은 힘벡터에 관한 방정식이기 때문에 좌표변환에 대해서 변하고, 따라서 사용하기 어렵다는 것에 있지


하지만 라그랑지안은 좌표 변환에 대해서 불변이면서 물리학의 법칙이기 때~~~문에, 저 방정식은 어떠한 좌표계를 적용해도 반드시 적용되는 공식이라는 것이지


저 공식의 q는 일반화좌표, q점은 일반화 속도를 의미하며, 


q에 데카르트 좌표를 쓰서 x를 대입하든지~~, 평면 극좌표계를 써서 r을 대입하든지 항~~상 옳은 간단한 방정식이 된단다.


참 신기한게 데카르트 좌표계를 사용하면 선운동을 설명하고 평면 극좌표계를 사용하면 각운동을 설명하니 굉장히 편리하지?