우선, 광자 (photon)라고도 알려진 입자를 생각해 봅시다.
광자의 흥미로운 특성 중 하나는 운동량이 있지만 질량이 없다는 것입니다.
이것은 James Clerk Maxwell이 1850 년대에 설립했습니다.
그러나 우리가 우리의 기본 물리학을 상기한다면,
우리는 운동량이 질량과 속도라는 두 가지 요소로 구성된다는 것을 알고 있습니다.
광자는 어떻게 운동량을 가질 수 있습니까?
아인슈타인의 위대한 통찰력은 광자의 에너지가 질량의 양과 같아야하고 따라서 운동량과 관련 될 수 있다는 것입니다.
아인슈타인의 사고 실험은 다음과 같이 진행됩니다.
먼저, 깊은 공간에 떠있는 고정 된 상자를 상상해보십시오.
상자 안에는 광자가 방출되어 왼쪽에서 오른쪽으로 이동합니다.
시스템의 추진력은 보전되어야하기 때문에 상자는 광자가 방출 될 때 왼쪽으로 반동해야합니다.
나중에는 광자가 상자의 다른 쪽과 충돌하여 모든 운동량을 상자로 옮깁니다.
시스템의 전체 운동량은 보존되므로 충돌로 인해 상자가 움직이지 않습니다.
불행히도 문제가 있습니다.
이 시스템에는 외력이 작용하지 않으므로 질량 중심은 같은 위치에 있어야합니다.
그러나 상자가 옮겨졌습니다.
박스의 움직임은 시스템의 질량 중심이 고정 된 채로 어떻게 조정될 수 있습니다.
아인슈타인은 광자의 에너지와 '질량 등가물'이 있어야한다고 제안함으로써 이러한 명백한 모순을 해결했다.
즉, 광자의 에너지는 상자에서 왼쪽에서 오른쪽으로 이동하는 질량과 동일해야합니다.
또한, 질량은 시스템 중심이 정지 상태가되도록 충분히 커야합니다.
수학적으로이 실험을 시도해 봅시다.
우리의 광자의 추진력을 위해 우리는 주어진 에너지를 가진 전자기파의 운동량에 대해 Maxwell의 표현을 사용할 것입니다.
광자의 에너지가 E 이고 빛의 속도가 c 라면, 광자의 운동량은 다음과 같이 주어진다.
(1.1)
질량 M 의 상자 는 속도 v로 광자 반대 방향으로 천천히 반동 할 것이다 .
상자의 추진력은 다음과 같습니다.
(1.2)
광자는 Δ의 짧은 시간이 걸릴 것 t을 상자의 반대편에 도달. 이 때 상자는 작은 거리 Δx만큼 이동했을 것 입니다.
그러므로 상자의 속도는 다음과 같이 주어진다.
(1.3)
운동량 보존으로 우리는
(1.4)
상자의 길이가 L 인 경우 광자가 상자의 다른면에 도달하는 데 걸리는 시간은 다음과 같습니다.
(1.5)
운동량 방정식 (1.4)의 보존과 재 배열로 대체 :
(1.6)
이제 시간이 광자 우리가에 의해 나타내는 일부 대량 보유하고 있다는 것에 대해 가정 m를 .
이 경우 전체 시스템의 질량 중심을 계산할 수 있습니다 . 상자의 위치가 x 인 경우
1
광자는 위치 x
2
, 전체 시스템의 질량 중심은 다음과 같습니다.
(1.7)
우리는 전체 시스템의 질량 중심이 변하지 않도록 요구합니다.
따라서 실험 시작시 질량 중심은 실험이 끝날 때와 동일해야합니다. 수학적으로 :
(1.8)
광자는 상자 왼쪽에서 시작합니다. 즉, x
2 = 0. 따라서 위의 방정식을 재정렬하고 단순화하면 다음과 같이됩니다.
(1.9)
(1.9)에 (1.4)를 대입하면 다음과 같습니다.
(1.10)
다시 정렬하면 최종 방정식이됩니다.
그래서이 방정식이 의미하는 바를 생각해 봅시다.
이 방정식은 주어진 질량이 에너지로 변환 될 수 있음을 제시합니다.
그러나 얼마나 많은 에너지? 음, 우리가 1kg의 질량을 가지고 있다고 가정합니다.
이 질량을 순수한 에너지로 변환하면 (1kg * c2) 에너지의 줄이 생깁니다.
이제 c2 = 8.99 * 1016m2s-2이므로 TNT의 21.48 메가톤에 상당하는 에너지가 훨씬 많습니다!
실제로, 모든 질량을 에너지로 전환하는 것은 불가능합니다.
그러나이 방정식은 원자력과 핵폭탄의 개발을 직접적으로 이끌었습니다.
아마도 아마도 특수 상대성 이론의 가장 가시적 인 결과 일 것입니다.
First of all, let us consider a particle of light, also known as a photon. One of the interesting properties of photons is that they have momentum and yet have no mass. This was established in the 1850s by James Clerk Maxwell. However, if we recall our basic physics, we know that momentum is made up of two components: mass and velocity. How can a photon have momentum and yet not have a mass? Einstein’s great insight was that the energy of a photon must be equivalent to a quantity of mass and hence could be related to the momentum.
Einstein’s thought experiment runs as follows. First, imagine a stationary box floating in deep space. Inside the box, a photon is emitted and travels from the left towards the right. Since the momentum of the system must be conserved, the box must recoils to the left as the photon is emitted. At some later time, the photon collides with the other side of the box, transferring all of its momentum to the box. The total momentum of the system is conserved, so the impact causes the box to stop moving.
Unfortunately, there is a problem. Since no external forces are acting on this system, the centre of mass must stay in the same location. However, the box has moved. How can the movement of the box be reconciled with the centre of mass of the system remaining fixed?
Einstein resolved this apparent contradiction by proposing that there must be a ‘mass equivalent’ to the energy of the photon. In other words, the energy of the photon must be equivalent to a mass moving from left to right in the box. Furthermore, the mass must be large enough so that the system centre of mass remains stationary.
Let us try and think about this experiment mathematically. For the momentum of our photon, we will use Maxwell’s expression for the momentum of an electromagnetic wave having a given energy. If the energy of the photon is E and the speed of light isc, then the momentum of the photon is given by:
(1.1)
The box, of mass M, will recoil slowly in the opposite direction to the photon with speed v. The momentum of the box is:
(1.2)
The photon will take a short time, Δt, to reach the other side of the box. In this time, the box will have moved a small distance, Δx. The speed of the box is therefore given by
(1.3)
By the conservation of momentum, we have
(1.4)
If the box is of length L, then the time it takes for the photon to reach the other side of the box is given by:
(1.5)
Substituting into the conservation of momentum equation (1.4) and rearranging:
(1.6)
Now suppose for the time being that the photon has some mass, which we denote by m. In this case the centre of mass of the whole system can be calculated. If the box has position x
1
and the photon has position x
2
, then the centre of mass for the whole system is:
(1.7)
We require that the centre of mass of the whole system does not change. Therefore, the centre of mass at the start of the experiment must be the same as the end of the experiment. Mathematically:
(1.8)
The photon starts at the left of the box, i.e. x
2= 0. So, by rearranging and simplifying the above equation, we get:
(1.9)
Substituting (1.4) into (1.9) gives:
(1.10)
Rearranging gives the final equation:
So, let’s think about what this equation means. The equation suggests that a given mass can be converted into energy. But how much energy? Well, suppose we have a kilo of mass. Conversion of this mass into pure energy would result in (1kg * c2) joules of energy. Now note that c2= 8.99 * 1016m2s-2 so that's a WHOLE lot of energy - equivalent to 21.48 megatons of TNT!
In practice, it is not possible to convert all of the mass into energy. However, this equation led directly to the development of nuclear energy and the nuclear bomb - probably the most tangible results of special relativity.
이외로 복잡한 계산없이 간단히 유도되네
좋은 정보 주었으면 칭찬이라도 해라.. 마음이 부피가 쥐톨만한것 아닌가..
땡큐~!!
결국 깍꿍이 맞는다는 얘기였네..이 글 올라놀땐 긴가민가했거든..너보다 깍꿍의 설명이 더 쌈박하다 니 추론은 뭔가 이상해