밑에서 꾸준히 슈뢰딩거 방정식의 유도과정과 허수 i가 필요한 이유를 물었는데,
사실 좋은 질문이다.
wave like하다고 해서 반드시 허수가 필요한 것은 아니다.
대표적인 것이 교류를 다루는 전기에서 전압을 exp(i*theta)로 흔히 사용하는데 이것은 단순히 편의를 위한 것이다.
결국은 결과에 실수값을 취해서 cos 함수를 얻는다. 허수값을 취하면 sin함수를 얻는데 이것은 cos함수에 phase가 shift된 것.
따라서 모든 교류계산 방정식은 실수로도 가능하다. 실제로 방정식에는 허수 i가 들어가지 않는다.
하지만 슈뢰딩거 방정식은 다르다. 반드시 허수i가 필요하고, 그 결과 방정식의 해인 wave function또한 복소수 영역이된다.
그 이유에 대한 설명도 한가지만은 아니다. 여기서는 그 중 한가지를 설명한다.
1. 슈뢰딩거 당시에 알려져 있던 사실
운동에너지:
일반적인 파동:
드 브로이 물질파:
플랑크 에너지-주파수 관계:
2. 목표
알려져 있던 것을 가지고 범용적인 wave equation을 만들기.
방정식에는 특정 운동량(k)이나 에너지(w)가 등장하지 않아야함.
일단 일반적인 파동을 미분해 보면:
이것으로부터 나올 수 있는 고전적인 파동함수는 다음과 같다.
그러나 이것은 방정식 자체가 에너지 E 혹은 운동량 p에 종속적이다. 즉, 일반적인 운동방정식은 될 수 없다.
3. 시도
(1)번식인 에너지-운동량 관계를 이용하려면 (3)식을 (4)식으로 나누면 되는데 sin과 cos의 phase가 얽혀져 있어서
우변이 나누어 떨어지지 않는다. 이 때 sin과 cos의 두 phase를 일치 시키는 조건이 유일하게 있는데 다음과 같다.
즉,
가 된다.
이 조건이 만족된다면 (3)식을 (4)식으로 나누어, 슈뢰딩거 방정식을 얻을 수 있다.
허수는 여기에서 등장한다.
4. 슈뢰딩거 방정식
위에서 등장한 허수는 방정식에도 불가피하게 들어가 있다. 다만 그 결과 특정 에너지(E)나 운동량(p)을 포함하지 않는
일반적인 방정식이 되었다.
Free particle 슈뢰딩거 방정식:
그렇군요. 결국 정리를 하자면 dispersion relation이 k^2 ~ w 가 되는 wave eq. 을 실수만 가지고는 나타내기가 불가능하니까 그렇다..고 이해를 해도 되는 건가요? EM wave나 mechanical wave는 k^2=w^2 혹은 ck=w 로 주어지니까..실수만으로도 나타낼 수 있고 복소수로 표현하는 것은 옵션이지만..
ㄴ올바른 해석이야.
한편으로는 좀 이상한게.. 상대론적 효과까지 고려하면 dispersion relation은 달라지고 이게 결국 클라인 고돈 방정식을 만들잖아요? 근데 얘는 또 복소수가 안 등장해요..마치 mechanical wave 처럼. 하지만 얘는 확률해석이 그지같이 안되기 때문에 망했는데 확률해석이 안되는 이유는 또 비 상대론적 양자역학에서 나온 보른해석 때문이고... 이러다 보니 돌고 돌면서 뭔가 존나 꼬이는거 같음...사실 디락책 85~86 page에 Quantum P.B.를 정의하면서 양자역학에 i가 자연스럽게 나옴을 이끌어 내긴 하는데..이렇게 보면 뭔가 깔끔해 보이고...Second Quantization 할때도 논리를 확장할 수 있고...
글쎄. 슈뢰딩거 방정식을 복소수 없이 못 쓸 이유가 없음. 다만 coupled된 두개의 방정식이 될 뿐이지요. 맥스웰 방정식도 Z = E + i c B와 같이 정의하면 네개의 방정식을 두개로 줄일수 있고, 여기에는 허수가 들어가죠.
결국은 파동을 기술하려면 크기와 위상이 필요하므로 파동함수가 complex가 되고 (혹은 complex로 기술하면 편하고), 그래서 coupled된 두개의 real eq.이든 하나의 complex eq이 되는것이죠.
중요한 것은 wave function이 complex 혹은 두개의 독립적 성분을 가지고 있다는 것. 1개의 real scalar function으로는 기술되지 않기 때문. 애초부터 벡터필드이고 각 필드가 실제로 물리량인 것과는 다소 다름. 이것은 방정식을 기술하는 방식을 넘어서서 gauge symmetry와 관련이 있음.
ㄴ 그렇지. 중요한건 wave function이 두개의 성분이 필요하다는 것이지. 슈뢰딩거방정식 자체에 허수가 들어가있냐 아니냐가 중요한게 아니라.