괴델의 불완전성 정리(영어: Gödel’s incompleteness theorems)는 수리논리학에서 페아노 공리계를 포함하는


모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없으며, 특히 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다.(출처:위키백과)



위의 정리는 결론을 이해하는 것도 힘들고, 증명을 이해하는 것도 힘들 수 있습니다. 그런데 그 증명이 옳다는 것을 알고 있기 때문에


다른 증명이나 예시를 통해서 괴델의 불완전성정리가 의미하는 것이 무엇인지는 좀 더 쉽게 이해할 수 있는 방법이 있습니다.


쉽게 말해서 답이 있다는 것을 알게되면 그것을 다른식으로 쉽게 이해하는 방법을 찾을 수 있다는 겁니다.


먼저 '모든 무모순적 공리계는 참인 일부 명제를 증명할 수 없다.' 부터 이해해봅시다.


무모순이라는 것은 쉽게 말해서 특별한 경우를 인정하지 않는 일반화를 의미합니다.


예를 들어 '모든 변화는 연속이다'의 공리의 경우 '모든' 이란 단어가 들어갔기 때문에 일반화가 되었다는 것이죠.


다시 말해서 '미시입자는 불연속으로 변화하고 거시입자는 연속으로 변화한다' 라는 전제는 모순적이지만


위의 "모든'이 들어간 경우는 모순적이지 않고 일반화된 무모순의 명제라는 것입니다.


따라서 상대론의 공리가 '모든 변화는 연속이다' 라면 불연속으로 변화하는 '참인 현상'이 있을 경우 그것을 증명(설명)할 수 없다는 것이죠.



다음은 '무모순적인 공리계는 스스로의 무모순성을 증명할 수 없다는 정리다.' 를 이해해 봅시다.


제 설명을 이해하신 분들은 모순성이라는 것은 기준에 따라 달라지는 상대성이라고 이해할 수 있을 겁니다.


결국 무모순성이란 무상대성이며 즉, 무모순적 공리계는 스스로 상대성이 없다는 것을 증명할 수 없다는 의미가 됩니다.


그런데 전에 설명했듯이 '모든 (입자성을 가진 것들의) 변화는 연속이다' 란 공리를 가진 상대론의 경우 시간의 상대성(모순성)이 있었고


'모든 (입자성을 가진 것들의) 변화는 불연속이다'라는 공리를 가진 경우 질량의 상대성이란 모순성이 생기게 됩니다.


따라서 인간이 무모순적 공리계라 생각하는 공리계는 모순성이 없다는 것을 증명할 수 없고 오히려 모순성이 있다는 겁니다.


수학적인 예를 들자면 수학의 경우 어떤 점을 좌표의 기준으로 삼느냐에 다른 좌표들의 값도 달라지는 것을 들 수 있겠죠.


결국 어떤 공리계가 무모순적으로 일반화 될 경우 괴델의 정리가 옳다는 겁니다.




※ 혹시 제 설명이 이해가 안되시는 분들은 먼저 아래의 -자연철학- 부분을 순서대로 읽어보시길 바랍니다.





아래 링크글들을 읽고 양자역학을 이해해봅시다.


- 자연철학 -


1. 중력과 관련된 철학적 질문들과 그 변천사

2. 중력과 우주의 존재성의 관계(에너지)

3. 갈루아의 군론을 통해 우주의 구조 이해해보기

4. 에너지의 차원과 엔트로피

5. 차원과 확률로 정의되는 엔트로피

5. 양자역학적 중력의 수학적 이해
6. 수학적으로 이해하는 차원의 확장과 확률

7. 확률로 이해하는 차원

8. 시간과 공간 그리고 시간에 대한 제논의 역설

9. 불변량과 에너지

10. 시간이 불변량이 되기 위한 조건

11. 정보와 확률

12. 연속성과 불연속성의 물리학적 정의

13. 우주의 끝과 암흑에너지



물리학자들은 양자역학을 전혀 이해하지 못했습니다.


그 가장 큰 증거는 양자역학을 거시까지 확장해서 일반화하지 못하고 있다는 것입니다.


공리에 대해서 철학하지 않는데 어떻게 물리학을 이해할 수 있을까요. 빛은 왜 절대속도일까요?


또 제 설명을 틀렸다고 하는 이곳 전공자들은 결국 상대론도 제대로 이해하지 못한 겁니다.


광속이 절대일 때 왜 운동량이나 질량에 따라 길이가 수축되어야 할까요?


기존에 가변이라 생각했던 것이 불변이 되면 기존에 불변이라 생각되었던 것중에 하나가 가변이 되어야 하죠.


따라서 빛이 절대속도일 때 길이수축이 되어야 하죠. 이러한 대칭성을 통해서 길이수축이란 결론이 나온 것이죠.


마찬가지로 시간이 불변일 경우 질량이 상대적이게 되어야 하는게 당연한겁니다. 또 다른 증명도 있습니다.


변화가 연속이라 가정될 때 뉴턴의 경우 시간과 질량이 모두 절대적이었고


변화가 연속이라 가정될 때 아인슈타인의 경우 시간이 상대적이게 되고 질량은 절대적이고


변화가 불연속이라 가정될 때 제 설명의 경우 시간이 절대적이게 되면 질량은 상대적이게 된다고 했습니다.


즉, 상대론의 대칭(대우)이 바로 제 설명이란 것이죠. 그리고 제 설명이 바로 양자역학을 거시까지 일반화한 설명이죠.