대한민국의

수리물리학 발전에

힘쓰겠습니다.


▣ 수리물리학의 기초:

수를 세어보자.




셀 수(數)


한 명의 인간이 세상에 태어난다.

살아가면서 숫자를 배우기 시작한다.


하나, 둘, 셋


일, 이, 삼


1, 2, 3


one, two, three


백원, 이백원, 삼백원


이렇게 숫자를 세는 것을 배우기 시작한다.


1


이렇게 숫자를 1개만 나열할 수도 있다.


숫자를 헤아리거나 나열하는 것은

세상을 살아가기 위해서

필수적으로 배워야 하는

일종의 수(數) 언어이다.


수를 세기,

수를 헤아리기,

...


수의 나열

이른바

수열이다.


수는 어떻게 나열하는 것일까?


즉

수열이란 무엇일까?


이 캐캐묵은 질문에 대해

신촌우왕이

명확한 답을 제공하기로 한다.


피타고라스와 수열...


피타고라스 이래로

약 2500년의 시간이 흘렀다.


애용되어 왔던 수열에 비해

그 개념에 대해

제대로 된 정립된 적이 없었다.


마치

뉴턴과 라이프니츠에 의해

미적분이 발견되고 애용되었지만,

정작 그 개념이 제대로 정립된 것은

그로부터 약 100년 후

토목기사 코시에 의해서였다.

※ 참고: 코시의 ε-δ(엡실론-델타) 논법이라 함.


이제

신촌우왕이

인류 역사 이래로

수를 헤아리고 나열하는 것

즉

수열을

제대로

정립하고자 한다.




유한수열의 재귀적 정의



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이것이 유한개의 수를

헤아리고 나열하는 방법이다.


즉

유한수열의 정의이다.


재귀적으로 정의되어 있다.


사람들은

유한수열

1, 2, 3

뒤에

, ...을 붙이면

무한수열

1, 2, 3, ...이라고

생각해왔다.


그렇게 생각하는 것이 관습이었다.


신촌우왕이

잘못된 그 관습을

고쳐줄 것이다.


우선

유한수열에 대한 재귀적 정의부터 익숙해져야 한다.




항이 1개인 유한수열


항의 개수가 1개인 유한수열의 경우,

유한수열의 재귀적 정의에서

양변에 k = 1을 대입하면

다음을 얻게 된다.


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좌변에는 일반항이 있고

우변에는 제1항이 있으며

그것들이

등호로 연결되어 있다.


기존에는

1, 2, 3, ..., n, ...으로 표현해 왔다.

일반항과 각각의 항이 대등하게 섞여 사용되었다.


항이 1개인 유한수열이라면

1, n으로 표기할 것인가?


말이 안된다.

이것은 항이 2개 처럼 보인다.


이제 일반항은 등호의 좌변에,

각각의 항은 등호의 우변에

위치하게 된다.


나중에 생략 표현을 사용하면

다음과 같은 수열의 등식 표현이 성립하게 된다.

n = 1


일반항은 좌변에,

각각의 항은 우변에...


항이 1개인 유한수열의 경우,

항이 1개만 나열되므로

각각의 항 사이의 구분자가 필요없다.




항이 2개 이상인 유한수열


항이 3개인 유한수열을 예로 들어보자.


항이 2개 이상인 유한수열의 경우

우변에 나열되는 각각의 항을 구분하기 위한

구분자가 필요하게 된다.


유한수열의 재귀적 정의 속에는

구분자 ,가 또한 잘 정의되어 있다.


유한수열의 재귀적 정의에서

양변에 k = 3을 양변에 대입하면

다음을 얻게 된다.

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그런데 좌변에 있는 재귀 패턴이

우변에도 나타나 있다.


우변에 있는 재귀 패턴을 모두 제거할 수 있다.

어떻게 우변의 재귀 패턴이 제거될 수 있는 지 살펴보자.


유한수열의 재귀적 정의에서

양변에 k = 2를 양변에 대입하면

다음을 얻게 된다.

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이것을 위에서 얻은 등식의 우변에 있는 재귀 패턴에 대입할 수 있다.

그러면 다음과 같다.

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아직도

우변에 재귀 패턴이 남아있다.


그런데

우변의 재귀 패턴은

항이 1개인 유한수열의 재귀 패턴이다.

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이것을 우변에 대입하면

최종적으로 다음을 얻게 된다.

a15528ad231eb36ab23410799b24ddb1dd2e3ca1c9e771a2a8953ee206c1445aa5fd33c42850a16eaedb2aac7bd5c6f60f11cfc6d32096c3872c0a


우변에서

재귀 패턴이 모두 제거되었다.


이때 우변의 각각의 항에 대해

차례로

제1항, 제2항, 제3항이라 칭한다.


우변의 항의 개수가 3개임이 명확하다.

이런 경우 좌변을 다음과 같이 생략하여 표현한다.

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(※ 주의: 만약 변수나 항의 개수를 명확히 표기해야 할 필요가 있을 경우, 생략표현을 쓸 수 없다.)


만약 일반항이 2n-1이고

항의 개수가 3개인 유한수열이라면

다음과 같다.

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만약 일반항이 0이고

항의 개수가 각각 1개, 2개, 3개인 유한수열이라면

각각 다음과 같다.

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주의


주의 깊게 관찰할 필요성이 몇 가지 있다.


유한수열의 재귀적 정의에는

각각의 항을 어떤 순서로 나열할 것이며

각각의 항을 구분하기 위한 구분자는 무엇을 사용할 것인지 등이

모두 정의되어 있다.


이를테면

말항부터 초항 순으로 나열하지 않으며

구분자로 //을 사용하지 않는다.

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다음과 같이

나열하며 구분한다.

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이것은

유한수열의 재귀적 정의에 의해

얻어지는 결과물이다.





유한수열의 재귀적 정의에 대한

필요성과 중요성

그리고

그 사용법을 이해했다면


그대는 센스쟁이!!!