사랑의 꿈 - 작곡:신촌우왕, 연주:강선영
대한민국의
수리물리학 발전에
힘쓰겠습니다.
▣ 수리물리학의 기초(3):
무한수열의 재귀적 정의
박찬우
(신촌우왕)
서강대학교 물리학과 87학번
(부전공: 수학)
수학자
작곡가
요가수행자
프로그래머
Copyright 2022.03.08. (박찬우) all rights reserved.
무한수열의 비밀
항이 k개인 유한수열의 재귀적 정의를 다루었었다.
(우변에 나타나는 재귀 패턴에서 k 자리는 더 작아지고 있음에 주의하자.)
만약
항이 무한개인 무한수열이라면?
유한수열의 재귀적 정의에서
k=∞로 놓으면
무한수열의 재귀적 정의가 저절로 얻어지는 것일까?
또한
유한수열 1, 2, 3의 뒤에
, …을 붙이면
저절로
무한수열 1, 2, 3, …이 되는 것일까?
겉으로는
혹은
결과적으로는
그렇게 보일 것이다.
하지만
엄밀하게
어떤 과정을 거쳐
그렇게 되는 지
알아야 한다.
k=∞를
위의 유한수열의 재귀적 정의에 대입해보면 알겠지만
유감스럽게도
작동되지 않는다.
따라서
무한수열의 재귀적 정의는
따로 얻어내야 함을 의미한다.
즉
이것은
유한수열과
무한수열의
본질적인 차이점이 존재한다는 것을 의미한다.
유한수열의 재귀적 정의와
무한수열의 재귀적 정의 중
어느 것이 더 복잡할까?
그리고
그 형태는
어떻게 다를까?
무한수열의 재귀적 정의...
그 비밀은
다음과 같다.
무한수열의 재귀적 정의
무한수열의 재귀적 정의는 다음과 같다.
(우변에 나타나는 재귀 패턴에서 k 자리는 더 커지고 있음에 주의하자.)
가까이에서 유한수열과 차이점을 비교해보기 바란다.
무한수열의 항의 나열
무한수열의 재귀적 정의를 이용하여
무한수열의 각각의 항이 어떻게 나열되는 지 관찰해보자.
k가 자연수라고 하니
위의 등식에
k=1, k=2, k=3, … 등을 대입해보자.
위 내용들을
다음과 같이 엮을 수 있겠다.
원한다면
이러한 과정을 무한히 계속할 수 있다.
불행하게도
실제적으로 무한히 나타낼 수는 없으므로
관습적으로 다음과 같은 생략 표현을 쓴다.
물론
전편에서 이야기 했듯이
무한수열의 마지막 항은
제∞항이므로
다음과 같이 쓸 수도 있겠다.
이것은
무한수열의 경우
제1항부터 제∞항까지
각각의 항을 나열함을 의미한다.
제∞항의
쓸모있음은
1 = 0.999…의 증명에서
보였다.
물론 이것은 관점의 차이이다.
기존의 표현 또한 나쁘지 않다.
무한수열의 경우
좌변의 형태는 굳어져 있으므로
좌변에 대해서
다음과 같이 생략 표현을 쓸 수 있겠다.
생략표현의 비교
항이 3개이고 일반항이 2n-1인 유한수열의 경우
생략표현을 쓰면 다음과 같다.
2n-1 = 1, 3, 5
항이 무한개이고 일반항이 2n-1인 무한수열은
생략표현을 쓰면 다음과 같다.
2n-1 = 1, 3, 5, …
이것은 각각
다음에 대한 생략 표현임을 알아야 한다.
여기까지 매우 단순해 보인다.
그러나
여기까지 이르는 과정이 더 중요하다.
이제 알게 되었으니
앞으로
위와 같은 생략 표현을 주로 사용하겠다.
말로만 그럴싸 하게 추상적으로 표현해 오던
유한수열과 무한수열에 관한 것들을
'수열의 등식 표현'을 이용하여
구체적으로 엄밀하게
재귀적으로 정의하는데 성공한 것이다.
이상
유한수열과
무한수열의
재귀적 정의를 다루어보았다.
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안녕하세요 68년생 틀딱 사이비 유사 수학자 신촌우엉님
안녕하세요 68년생 틀딱 사이비 유사 수학자 신촌우엉님