차원과 갈루아의 군론으로 이해하는 시간대

[부기우(booogiu)]

변화가 불연속일 경우 시간대란 개념은 필연적이게 됩니다. 왜일까요?

일단 입자나 질량체의 변화가 불연속일 경우 이동거리가 없기 때문에 시간을 정의할 수가 없게 됩니다.

또한 시간은 불변이 되버리게 됩니다. 그 또한 이동거리가 0이기 때문이죠. 그런데 현상적으로 분명하게도 시계의 시간은 상대적으로 변화합니다.

저는 시간이 불변이라고 했지만 시계의 시간은 분명 흘렀다는 것이죠. 그런데 이 부분에서 잠시 시간이 흘렀다는 표현에 대해서 생각해봅시다.

사실 시간이 흘렀다는 표현보다는 시계에 표시된 시간이 달라졌다고 하는게 정확하겠죠? 즉, 저는 시간이 불변이라고 한 것이지

시계의 시간이 변화하지 않는다고 말한 것이 아니란 겁니다. 보통 시계의 시간이 변화하는 것을 통해서 사람들은 시간이 흘렀다고 생각하지만

사실 시간이 흐른다는 것의 정확한 의미는 선후관계를 의미합니다. 예를 들어 제가 (①밥을 먹고) 나서 (②양치질을 하는) 과정들이 있었다고 해보죠.

그럼 선후관계가 분명한 경우에는 ②의 행위는 ①의 행위가 없었다면 존재할 수 없어야 합니다. 하지만 제가 설명한 시간대의 경우 ①이 벌어지고 있는

동시에 ②의 행위도 벌어지고 있다는 겁니다. 물론 ①에서부터 ②까지의 모든 과정들의 사건(사태:사건의 형태)들도 동시라는 겁니다.

즉, 모든 시간대의 사태들은 선후관계가 없고 동시란 겁니다. 그러므로 시간이 불변이라는 것이죠.

결국 변화가 불연속일 경우 시간대란 개념이 필연적인 첫번째 이유는 시간이 흐르는 것처럼 보여야하면서 동시에 시간이 불변이어야 하기 때문입니다.

따라서 우주가 4차원 고립계(시간대)의 연속체인 5차원이라는 것이죠.

그리고 두번째 이유는 에너지 보존법칙에 위배되지 않고 우주의 존재성을 설명해야 하고 또한 우주의 에너지가 증가하는 것처럼 보이는 현상이 있다고 해도

결국 증가한 것이 아니라는 것을 시간대란 개념이 잘 설명해주기 때문입니다. 결국 에너지 보존법칙때문이란 겁니다. 고립계에서 에너지는 새로 생겨날수도

없고 소멸될 수도 없습니다. 그런데 만약 우주에서 에너지가 증가는 것처럼 보이는 현상이 있다면 사실은 그것이 증가한 것이 아니라는 것을

간단히 설명해주는 것이 바로 시간대란 개념이란 것이죠.

그리고 위의 설명에서 등장하는 시간대란 개념을 이해하려면 갈루아의 군론을 통해서 대칭성(에너지보존법칙)이 무엇인지 이해할 수 있어야 합니다.

그렇다면 차원에 대한 이해가 먼저 필요하죠. 차원에대해서 쉽게 설명을 할테니 잘 이해해보세요.

0차원은 점, 1차원은 선, 2차원은 면, 3차원은 부피(입체), 4차원은 초부피(초입체)입니다.

아마 4차원부터 시각화가 잘 안될거에요. 하지만 힌트는 있어요.

기하학의 아버지로 불리우는 유클리드는 차원을 다음과 같이 정의 했습니다.

'입체의 단면은 면이고, 면의 단면은 선이고, 선의 단면은 점이다.'

또 수학자 푸앙카레는 유클리드의 방식처럼 4차원을

'그 단면이 3차원이 되는 것이 4차원이다' 라고 했습니다.

또 상위차원은 서로 다른 하위차원을 무한개 포함하고 있어요.

서로 다른 0차원은 1차원에 무한개가 존재할수있죠.

서로 다른 1차원은 2차원에 무한개, 서로 다른 2차원은 3차원에 무한개

따라서 서로 다른 3차원은 4차원에 무한개가 들어갈수있어요.

그렇다면 4차원 하나에 서로 다른 입체가 무한개가 들어간다는 것부터 시각화를 한번 해볼까요?

일단 무한대의 크기의 공간이 있어야 서로 다른 무한개의 입체가 하나의 4차원에 들어갈수있겠죠?

그런데 이렇게 이해하면 4차원이 뭔지 시각화가 된 것 같다는 착각을 할수는 있어요.

즉, 무한한 공간을 서로 다른 3차원이 꽉채웠을때 그것이 4차원인가 하는 착각을 할수있다는거죠.

하지만 그건 정확한 이해는 아니에요. 하지만 다음과 같은 관계는 알수있죠.

무한개의 서로 다른 하위차원의 연속체는 상위차원과 같거나 작다.

즉, 무한개 서로다른 0차원은 1차원과 같거나 작고 다른 차원도 마찬가지란거죠.

무한개의서로다른N=N+1차원(N은 차원) 이란 거죠.

그런데 위의 4차원이란 무한한 공간을 서로 다른 입체로 채운것이다라는 설명이 틀린 이유는 결국 뭘까요?

일단 10cm의 선과 100cm의 선은 각각 무한개의 서로 다른 점이 들어갈수있지만 100cm가 10cm보다 더 길죠?

왜냐면 점이 무한개가 들어가도 100cm가 10cm보다 길다는 것은 분명하고

선이 무한개가 들어가도 100cm^2가 102cm^2 보다 넓다는것은 자명하니까요.

하지만 무한한 부피보다 4차원이 항상 크거나 작다는건 시각적으로 자명하게 느껴지지 않죠?

또 위의 설명으로는 서로 다른 4차원들간의 대소 비교도 힘들게 되버립니다.

그래서 4차원을 설명하기 위해서는 칸토어가 사용했던 방식과 비슷한 무한의 대소 비교 방법이 필요해지게 되는 겁니다.

즉, 칸토어식의 방법은 3차원과 4차원을 구분하고 비교할때나 필요진다는거죠.

그런데 물리학에서는 4차원을 시간 또는 시공간이라고 하죠?

일단 무한한 공간을 10cm^3의 입체가 빈틈없이 채우고 있다고 해보죠.

그리고 이번엔 10cm^3의 공간에 10cm^3의 입체가 무한히 계속 생멸(불연속변화)한다고 해보죠.

그리고 이번엔 100cm^3의 입체가 무한한 공간을 빈틈없이 가득 채우고 있다고 하고

또 100cm^3의 공간에 100cm^3의 입체가 무한히 계속 생멸한다고 해보죠.

비슷한 식으로 계속 생각해보면 무한한 3차원은 하나의 4차원과 크기가 같거나 작다라는 설명이 이해가 될거에요.

그리고 위의 10cm^3의 4차원의 시공간은 100cm^3의 4차원의 시공간보다 크기가 작죠. 4차원도 이렇게 대소비교가 되죠.

즉, 0~3차원까지는 고정적인 정지상태라면, 4차원부터는 고립계이지만 계내부에서 자체적으로 끊임없이 변화할수있다는 설명이죠.

그게 바로 시간(4차원 시간대 또는 (확률적인) 에너지의 고립계)이란거구요

또 10cm^3의 공간(4차원시공간)에서 10cm^3의 입체가 회전하거나 어떤 형태로 변하더라도

4차원의 가능성(에너지)내에서의 변화이기 때문에 모든 변화에 대칭이란 겁니다.

즉 변해도 변하지 않는 대칭성을 자체적으로 가지고 있죠. 고립계이기 때문이죠.

이러한 아이디어로 이제는 갈루아 군론까지 이해가 가능해져요.

갈루아의 군론의 수학적 의의는 일단 5차방정식은 근의공식(일반해)가 없다는 것을 증명한 것에 있죠.

일단 1차~ 3차 방정식까지는 대입 때문에 많이 풀어봤을겁니다. 4차 방정식은 좀 생소할수있지만 일반해가 있죠.

일단 2차방정식을 처음으로 근의 공식을 배우는데 그 근의 공식의 꼴이 제곱근이 들어가있죠?

3차방정식과 4차방정식도 마찬가지로 3제곱근, 4제곱근이 존재하는 근의 공식이 존재합니다.

그런데 근의 공식이란 뭘까요? 쉽게 말해서 중학교때 쌤이 ax^2+bx+c=0이라는 일반식을 이리저리 변형해서

제곱근형태로 만든거죠? 일단 근의 공식을 유도하기위해 이리저리 식을 변형한다는 것을 잘 기억해두세요.

마찬가지로 3차나 4차도 근의 공식이란 3차~4차방정식의 일반식을 이리저리 변형한 것입니다.

일단 이해하기 쉽게 3차방정식의 3개의 근을 a, b, c라 해봅시다.

또 저 근이 하나의 삼각형의 세 꼭지점이라고 생각해봅시다.

그런데 이 세개의 근을 이리저리 순서를 바꿀수가 있겠죠?

abc>bca>cab>abc 이렇게 말이죠? 그리고 3번의 변형으로 처음과 순서가 같아 졌습니다.

마찬가지로 삼각형도 360도를 회전시키면 처음과 같아지죠. 처음과 대칭이된 것입니다.

대칭이란 것은 쉽게 말해서 이렇게 어떤 변화해도 변화하지 않은 것을 의미합니다.

물론 처음과 대칭을 이루게 하는 변환은 많으니 나중에 혼자 알아보세요.

암튼 설명을 다시 이어가자면 왜 4차 방정식까지는 근의 공식이 즉 대칭을 만들수있을까요?

그 이유는 앞서 설명했듯이 0차원~하나의 4차원까지의 변화는 시간대가 다 하나의 시간대에서의 변화였기 때문입니다.

하나의 시간대는 고립계라 에너지가 어떤 변화에도 항상 같죠. 그러니 아무리 변형을 해도 에너지가 불변이니 대칭입니다.

그러니 대칭을 지키는 일반해가 존재한다는 거구요. 하지만 5차원은 4차원 시간대의 연속체입니다.

더 쉽게 이야기 해서 제가 다음과 같은 순서로 일을 했다고 해보죠.

1. 아침에 일어나서. 2. 밥을 먹고. 3. 씻엇다. 이렇게 시간대가 다른 행동을 했을 때 대칭을 맞추는 방법은 하나뿐입니다.

1>2>3의 순서말고는 대칭을 맞출수가 없어요.

즉, 5차원 이상에서는 근의 공식이 존재할수 있는 조건에 맞는 핵심적인 대칭을 만족하는 일반해는 구할수가 없는 겁니다.

시간의 절대성에 관한 쉬운 설명

변화가 불연속일 경우 질량이 상대적이고 시간이 절대적이라는 것을 쉽게 이해하기 위해서는 시간대란 시간이 절대적이게 되는

우주의 구조로 이해하는 것이 가장 좋습니다. 물론 제 설명에서의 시간의 절대성은 뉴턴의 시간의 절대성과는 다릅니다.

뉴턴의 경우 누군가의 시간이 1초가 흘렀다면 우주의 모든 것들의 시간도 1초가 흐른 것이 되지만 제 설명은 아에 시간이

불변이란 것이죠. 즉 시간이 전혀 흐르지 않고 고정 되어 있다는 것이죠. 관련해서 다른 글에서 설명했던 것을 잠시 그대로 옴겨보면

아래와 같습니다. 이미 읽으셨던 분들은 스킵하시면 됩니다.

(현상적으로 분명하게도 제가 가지고 있는 핸드폰의 시계의 시간은 상대적으로 변화합니다. 저는 시간이 불변이라고 했지만 시계의 시간은 분명

흘렀다는 것이죠. 그런데 이 부분에서 잠시 시간이 흘렀다는 표현에 대해서 생각해봅시다. 사실 시간이 흘렀다는 표현보다는 시계에 표시된

시간이 달라졌다고 하는게 정확하겠죠? 즉, 저는 시간이 불변이라고 한 것이지 시계의 시간이 변화하지 않는다고 말한 것이 아니란 겁니다.

보통 시계의 시간이 변화하는 것을 통해서 사람들은 시간이 흘렀다고 생각하지만 사실 시간이 흐른다는 것의 정확한 의미는 선후관계를 의미합니다.

예를 들어 제가 (①밥을 먹고) 나서 (②양치질을 하는) 과정들이 있었다고 해보죠. 그럼 선후관계가 분명한 경우에는 ②의 행위는 ①의 행위가 없었다면

존재할 수 없어야 합니다. 하지만 제가 설명한 시간대의 경우 ①이 벌어지고 있는 동시에 ②의 행위도 벌어지고 있다는 겁니다.

물론 ①에서부터 ②까지의 모든 과정들의 사건(사태:사건의 형태)들도 동시라는 겁니다. 즉, 모든 시간대의 사태들은 선후관계가 없고 동시란

겁니다. 그러므로 시간이 불변이라는 것이죠.)

결국 시간이 불변(절대적)이기 위해서는 위에서 설명한 것과 같은 현상이 가능한 구조가 있어야 한다는 것이죠.

그리고 위의 설명을 가장 쉽게 이해할 수 있는 예시로는 바로 영화가 들어가 있는 한장의 CD가 있겠습니다.

프레임 단위로 분할된 디지털 영상을 우리는 눈은 연속이라 느끼고 시청합니다. 그런데 1초에 60프레임으로 출력되는 모니터의 영상을

1초에 120프레임의 영화카메라로 찍으면 1초에 60프레임짜리의 영상의 불연속 변화를 시각적으로도 알수있게 됩니다.

그리고 1초에 60프레임짜리 카메라 두개로 두개의 영화를 찍은 후 두 영화를 합쳐서 1초에 120프레임 영화로 만들 수도 있습니다

물론 프레임이 더 분할되면 분할될수록 영화 2편 이상을 하나의 CD에 집어 넣을 수 있습니다. 그렇게 만들어도 처음에 독립되어 찍은

각각의 영화들은 서로에게 영향을 주지 않아요. 이러한 설명은 사실 우리가 5차원적 존재가 되서 4차원적 우주의 변화들을 바라본 것과

유사한 행위입니다. 결국 다중우주가 자연스럽게 서로에게 영향을 주지않고 공존하고 있다는 것을 알수있죠.

물론 당신이 본 그 4차원 우주(영화들의 교차적 집합)는 매우 복잡해보일지도 몰라요. 그런 짬뽕이 된 영화는 보고 싶지도 않을거고

제대로 이해하기도 힘들겠죠. 하지만 각각의 영화들은 따로따로 찍고나서 합쳐진 것이라 원본은 하나의 스토리대로 이어지죠.

자 이젠 영화를 cd 한장으로 구운다고 해보죠. 그럼 그 cd는 구워지기 전에 이미 정보를 저장할 저장공간을 가지고 있어요.

즉, 그 구워지기 전의 cd의 저장공간이란 비결정론적인 공간이라 생각하면 됩니다. 또 그 CD의 저장 공간의 시간은 모두 같아요.

영화를 굽고 CD를 재생하게 되면 영화의 시간대 별로 영화가 순차적으로 재생되지만 말이죠.

지금까지의 제 설명이 제가 갈루아의 군론으로 설명했던 시간대란 개념입니다. 각각의 시간대가 보유한 에너지가 만들수있는

확률을 모두 만들수있다는 거죠. 만약 한 시간대가 (10-10)의 에너지가 있다면 (5+5-5-5), (2+2+2+2+2-2-2-2-2-2), (3+1+1-1-1-3)...

사실상 각각의 시간대는 모두 무한개의 확률을 가지고 있습니다. 마치 CD가 구워지기 전의 상태처럼 말이죠.

결국 시간은 절대적이게 되고 말이죠. 양자역학은 이처럼 디지털의 예로 이해하는 것이 가장 쉽습니다.