등식이론: 전이
a=b, b=c 이면 a=c의 증명
(증명)
a = b, b = c가 성립한다고 하자.
그런데
등식이론의 반사에 의하면
b = b …①가 성립한다.
또한
a = b 이므로
등식이론의 대칭에 의하면
b = a …②가 성립한다.
또한
전제조건으로
b = c …③이 성립한다.
이제
②, ③을 이용하여
①에 치환대입해보자.
b = b …①에서
①의 좌변에는 b = a …② 이므로 b 대신 a를 대입하고,
①의 우변에는 b = c …③ 이므로 b 대신 c를 대입한다.
그러면
a = c
즉
a = b, b = c 이면 a = c
등식이론: 반사
a = a의 증명
(증명)
a ≠ a라고 가정하자.
그러면
a는
공집합 = {g | g ≠ g}의 원소가 되어
공집합 = {a}가 된다.
이것은
공집합 = {}에 모순.
따라서
a = a
등식이론: 대칭
a=b이면 b=a의 증명
(증명)
a=b가 성립한다고 하자.
그런데
등식이론의 반사에 의해
a=a …①가 성립한다.
a=b라면
a 대신 b로 치환대입해도 됨을 의미한다.
①의 좌변에만 치환대입을 적용하면
b = a
①의 우변에만 치환대입을 적용하면
a = b
①의 양변 모두에 치환대입을 적용하면
b = b
즉
a = b라면
a = a에 치환대입을 적용하여
다음이 얻어진다.
b = a
a = b
b = b
따라서
a = b 이면 b = a
a = b 이면 a = b
a = b 이면 b = b
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ㅇㅇ(180.226) ---------------------------- 전혀 가치없는 댓글이라 삭제.
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