아킬레우스가 1m를 가려고 한다


처음1초동안 반1/2를 가고 그다음1초는 남은 거리를 1/2만큼씩 계속 간다고 하자


처음엔 0.5m를 가므로 0.5m가 남고 그다음 1초후엔 0.25미터가 남고 그다음 1초후엔 0.125미터가 남고

계속 절반을 움직이면 상식적으로 절반의 길이가 계속 남게 되서 영원히 1m를 못 가는거 같다....


하지만 수학에서는?


무한등비급수의 공식은 a/(1-r)이다 여기서 a는 첫째항 r는 공비이다


첫째항은 1/2미터를 간다고 했으므로 1/2이고 두번째항은 첫째항보다 1/2배한 거리를 가므로 공비가 1/2이다


즉 (1/2)/(1-(1/2))하면 1이 된다


참고 0.9 + 0.09 + 0.09 + 0.009 + ........... = 0.9999999...........


좌변을 살펴보면 첫째항은 0.9고 공비는 0.1이다 공식에 대입하면 0.9/(1-0.1) 즉 0.9/0.9 =1 이 된다

그러므로 0.999.....은 1이다


또다른 예 1/3 = 0.33333333............이다

양변에 3을 곱하면 좌편은 약분되서 1이 되고 우변은 0.99999999...........가 된다