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불완전성정리는 간단히 무모순의 공리계로는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 있다는 것과 그 체계내의 무모순성을 증명할 수 없다라는


두가지 결론으로 이루어져 있습니다. 사실 굉장히 유명한 정리지만 괴델의 증명 자체가 굉장히 이해하기 어렵고 그 예도 찾기 어려운 면이


있어서 이번엔 누구나 이해하기 쉽게 설명을 해보려고 합니다. 먼저 모든 증명은 결국 A=A와 같은 공리의 동어반복이라고 볼 수 있습니다.


물론 완벽한 동어반복이라기 보다는 공리의 동어반복적 하위개념이라는 것이죠. 쉬운 물리학적 예시를 들자면 변화가 불연속이라는 공리가


있을 때 그 하위개념으로 증명될 수 있는 것이 바로 빛의 절대속도입니다. 그럼 결국 어떤 공리계에서 증명할 수 없는 명제란 무엇일까요?


그 공리계와 동어반복적 개념이 아니면서 참인 명제여야 합니다. 그렇다면 그 예시는 무엇일까요?


수학에서는 유클리드 공리계와 비유클리드 공리계가 있고 그래서 유클리드 공리계로는 증명할 수 없지만 비유클리드계로는 증명할 수 있는


명제가 있다면 그것이 적절한 예시가 될까요? 사실 비유클리드계로 어떤 명제가 참임을 증명을 했다고 하더라도 그 명제가 유클리드계에서까지


참이란 보장을 할 수가 없습니다. 즉, 유클리드계나 비유클리드계 모두에서 참이어야 불완전성 정리의 적절한 예시가 된다는 것이죠.


그렇다면 결국 가장 적절한 예시는 바로 '시간이 상대적일때 질량이 절대적이다.'란 명제가 상대론에서 참이고 그 대우가 반드시 참이므로


'질량이 상대적일 때 시간이 절대적이다.' 도 참이 되므로 이 예시가 바로 불완전성 정리의 가장 적절한 예시가 됩니다.


즉, 상대론으로는 증명할 수 없지만 분명히 참임이 보장된 명제가 있다는 것이죠. 물론 위의 유클리드와 비유클리드의 예에서도


이런 적절한 예시를 찾을 수 있을지 없을지 모르고 또 저는 생각나는게 없어서 일단 적지 못했습니다.


그런데 위의 예시의 문제는 결국 모순적인 관계를 가지는 명제가 모두 참이 된다는 겁니다.


전통적인 논리학에서는 모순율, 배중률, 동일률등으로 (공리의) 모순을 허용하지 않으므로 둘 중 하나는 반드시 틀려야 하는데


결국 제 설명에서는 이론적으로 둘 다 참이라는 것이 문제라는 것이죠. 그런데 저 대우명제도 결국 전통적인 논리학을 통한 결론입니다.


따라서 이론적으로는 모두 참인 상위체계가 있어야 한다라는 결론이 도출 될 수 있습니다. 그러나 현상적인 하위체계에서는 둘 중 하나만


옳고 말이죠. 결국 어떤 모순을 해결하는 방법은 바로 차원을 높이는 겁니다. 차원을 높임으로써 모순이 각각 참으로 공존할 수 있다는 것이죠.


즉, 불완전성정리의 증명할 수 없지만 참인 명제가 있다는 것의 정확한 의미는 그 공리계의 차원보다 상위계인 차원이 있다는 것이죠.


사실 유클리드계와 비유클리드계는 평행성 공준하나의 차이로 구분되고, 상대론과 양자역학은 연속의 변화와 불연속의 변화로만 구분됩니다.


그 외의 공리는 다 같다는 것이죠. 그럼 왜 그것만 다른 걸까요? 그 다른 공준이 바로 서로 같은 공리와는 차원이 더 낮은 하위개념이기 때문에


같을 수가 없는 겁니다. 쉽게 말해서 현상적이기 때문이죠. 그리고 결국 불완전성 정리의 그 체계내의 무모순성을 증명할 수 없다는 것도


위의 설명에 포함 되어 있는 것과 마찬가지므로 설명을 생략해도 될 것 같습니다.


결국 저는 5차원이 바로 이런 모순이 공존할 수 있는 체계라고 했었죠.


갈루아의 군론에서 5차 방정식의 일반해가 없는 것도 바로 5차원이 더 이상 일반적이게 만들 수 없는 체계이기 때문이고 말이죠.


왜 특수상대론과 양자역학까지만 통합될 수 있을까?


물리학자들은 상대론과 양자역학을 합치고 싶어했습니다. 그 이유는 두가지 이론이 평행하게 존재하기 보단 하나의 이론이


다른 이론을 포함해서 설명할 수 있지 않을까와 그게 보편적이고 일반화된 설명이 가능해지기 때문이었죠.


그런 의도로 물리학자들이 연구했던 대표적인 이론이 바로 양자장론이라고 불리는 이론입니다.


저는 사실 양자장론을 전혀 모릅니다. 그런데 제가 말하고 싶은건 이 양자장론이 특수상대론과 양자역학을 수학적으로 합치는데


성공했지만 일반 상대론과 양자역학을 합치는데는 실패했다라는 겁니다. 관련해서 제가 쓴 책에도 이미 쓴 적이 있지만 다시 써보자면


상대론은 변화가 연속, 양자역학은 변화가 불연속이라는 현상적인 공리가 설정되어있기 때문에, 즉, 공리가 모순되므로


통합된 이론이 만들어질 수 없다고 했었죠. 쉽게 말해서 변화는 연속이면서 불연속이다란 공리를 쓸수는 없다는 겁니다.


그럼 여기서 생기는 의문은 바로 왜 그럼 특수 상대론과 양자역학은 합칠 수 있었던 건가?가 됩니다.


그럼 도대체 왜일까요? 바로 특수상대론은 관성계를 설명하는 이론이기 때문입니다.


즉, 관성계는 등속운동과 정지 상태를 설명하는것이고 양자역학의 불연속도 결국 관성계를 의미하죠.


따라서 합쳐질수있다는 겁니다. 그런데 사실 이건 아인슈타인이 특수상대론을 설명할 때 세웠던 가정 2가지중 하나와 관련되어있습니다.


1. 모든 관성 좌표계에서의 물리법칙은 동일하다, 2. 모든 관성계에서의 빛의 속력은 동일하다


결국 위의 가정중 바로 1번이 바로 양자역학과 특수 상대론이 통합될 수 있던 이유가 됩니다.


그런데 결국 왜 일반 상대론과 양자역학은 통합될 수 없는걸까요? 이 우주에 비관성계가 없기 때문입니다.


연속으로 운동하는 것처럼 보이는 것은 제논의 주장처럼 인간 감각의 착각이다라는 것이죠.


화살의 역설처럼 매순간 모든 물체는 정지해있고 가능한 것은 오직 허수시간동안의 기준의 변화에 따른 질량의 상대적인 변화뿐입니다.


물론 기준의 변화를 연속이 아닌 불연속으로 설정하면 이마저도 역시 관성계가 되어버리죠.


결국 양자장론의 한계는 특수상대론과 양자역학을 합치는 것까지라는 겁니다.


그리고 이를 가장 잘 설명하는 것은 제 시간대란 개념이고 말이죠.


https://drive.google.com/file/d/1Ns4wdYS-DHVyPmwSW54km3DHw6W43_04/view?usp=sharing

완전론요약&현대자연철학&푸앵카레추측증명.pdf

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