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이건 제논 역설에 대한 단상인데 뭔고 하니 제논의 거북이와 달리기 선수의 역설에서

다른 방법으로 이 역설의 모순을 깨는 방법도 있겠지만 나 DC 갤러 그가 이동 상자의

길이 수축을 구하는 예시에서 빛을 상자가 이동하는 방향과 평행하게 쏜 경우만을 관찰한

경우가 제논의 거북이와 달리기 선수의 역설의 상황과 거의 흡사한 상황이라는 것을 알게 되었다.


거북이와 달리기 선수의 경우는 뭐 사실 그것은 무한 수렴 수열과 같은 경우여서 무한 수렴 공식을

써서 이것이 유한한 값이 나온다는 것으로도 증명 된다 하지만 그러나 무한 수렴인 경우는 필히 등비수열일수 밖에

없다는 점을 감안하면 등비 수열의 계산에서 공비의 무한승 곱은 사실 그것은 엄밀히 따지자면 실지로는 결코 0이 아니지만

무한함의 상황에 빗대어 그 값을 0이라고 봐도 무방하다고 보자는, 실제적으로 엄밀하게 보자면 실제적으로는 사실이 아닌

것을 기초로 값을 낸 것이어서 좀 산술적 엄밀성에 있어서 약간의 모호함이 있다 할 것이다.


그런데 이러한 거북이와 달리기 선수의 경우와 같은 경우가 무한 수렴 수열의 공식이 아니더라도 한번에 단순한 일반적인

간단한 산술 등식만으로도 달리기 선수가 그 거북이를 앞지르는 시점의 시간량을 구할 수 있다는 것을 이동 상자의 길이 수축

을 구하는 예시에서 빛을 상자의 이동 방향과 평행으로 발사한 경우의 걸리는 총 시간량을 구하는 등식을 보고서 똑같이 적용 할 수

있다는 것을 알 수 있다.




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일단 달리기 선수가 빛의 속도로 거북이가 처음 위치한 지점인 A까지의 거리 L을 주파하는데 걸리는 시간량을 T1이라 하면 

그 T1 동안에 거북이는 두 번째 구간을 이동할 것이고 그 거리는 VT1 이 되고 그 VT1의 거리를 달리기 선수가 주파하는데 

걸리는 시간량은 T2=(VT1)/C 가 되고 거북이는 또 그 T2의 시간동안 세번째 구간인 VT2의 거리를 이동할 것이고 

그 거리를 달리기 선수가 주파하는데 걸리는 시간량은 T3= (VT2)/C 의 형태로 등비가 (V/C) 인 등비수열의 형태로 

무한히 수렴하는 형태가 된다.



이것의 무한 등비수열 합은

Ta = (L/C)[(1-(V/C)^∞)/(1-(V/C))] = L/(C-V) 로


이동 상자의 길이 수축을 구하는 예시에서

빛을 상자의 이동 방향과 평행하게 쏜 경우만의 걸리는 시간량과 동일한 값이 나타남을 확인 할 수 있다.



그러나 사실 위의 무한 등비수열 합을 구하는데 있어서 등비의 무한승 곱인 (V/C)^∞ 은 사실 엄밀하게 보자면

그 값이 0 이 아닌 것이라고도 할 수 있어서 그 논리적 순수성이 좀 약한 면이 있다.


그래서 저러한 무한 수렴 등비 수열인 경우에 위의 무한 등비 수열의 수식을 통하지 않고

간단하게 일반적인 평범한 등식을 세워서 구할 수도 있는데 그것이 바로 이동 상자의 길이 수축을 구하는 예시의

상자가 이동하는 방향과 평행하게 빛을 쏘았을 경우의 총 걸리는 시간량을 구하는 등식과 똑같은 형태로 구할 수 있다는 사실이다.

즉,


Ta = [L+(VTa)]/C ....... 따라서 Ta = L/(C-V) 로 어렵지 않게 구할 수 있다는 것을 알 수 있다.


저기서 거북이의 속도가 달리기 선수보다 더 빠른, V>C 인 경우에는 총 걸리는 시간량 Ta 가 음수량 값으로 나타 나는데

여기서 음수값 시간량은 흔히 생각하기 쉬운 시간이 거꾸로 흐른다, 또는 과거로 흐른다 등의 개념이 아니라

진짜로 달리기 선수가 거북이를 영영 따라 잡을 수 없는 발산형 무한 수열의 형태가 된다는 것을 나타 내는 것이 되는 것이라 하겠다.