샹카 양자역학 책 내용인데 영어 해석이 안돼서 도움 좀 받으려고
이거인데,
Gaussian function을 wave function으로 두고
(position basis에서 시작해서)
wave function on momentum basis 구하고 uncertainty relation까지 구했거든?
갑자기 저자가 오!! 드디어 이걸 얘기할 수 있다니 너무 기뻐용 이러면서 속사포 던지는데 ㅋㅋ ㅅㅂ
plane wave는 우리가 규격화 할 수 없어서 Dirac delta function으로 이를 유사하게 대각화 시켰고 이는 물리적으로 well-defined momentum state가 존재하지 않는다는걸 뜻한다라고 말하고 있는거 같더라고
일단 내가 이해하고 있는게 맞는지부터 좀 의심스럽고..
이게 맞더라도 이게 왜 물리적으로 그런 의미를 갖는지 모르겠어서 도움 좀 받으려고 해
수학과 학부 4학년이고 물리 예전에 했던 거 다시 복기하는 과정이라 많이 부족함..
수준 낮은 질문해도 양해 부탁
plane wave가 운동량 operator의 eigenfunction은 맞지만 실재하지는 않는다 왜냐, 규격화가 불가능 ㅇ 대체재로 일정 영역에서는 평면 π지만 무한히 먼 거리에선 0으로 수렴하는 함수를 쓰면 되고 실험 정확도 내에서 plane wave와 같은 것으로 간주 가능하다
뭐 대충 이렇게 읽히네
좀 뒤에 However, there do exist states that are both normalizable to unity (i.e., correspond to proper vectors) and come arbitrarily close to having a precise momentum. 이게 simultaneous eigenstate를 말하고 있는거겠지??
momentum eigenstate는 정확하게 찾을 수 없지만 CSCO를 찾는건 언제나 가능해서 문제 없다 식으로?
그래서 그게 결국 수학적으론 normalized가 불가능한건 맞는데 물리적(실험적)으로 유사하게 만들 수 있다 라는 뜻임?
p₀가 p는 아니지만 |p - p₀| < ε라는 실험 오차 내에서는 동일하게 간주 가능
Normalize 가능함. 무한히 멀리서는 0으로 수렴하는 함수에 대해서는 수학적으로도 ㅇㅇ
오 그런가... 그게 a wave function that behaves as eipox/R over a large region of space and tapers off to zero beyond 이게 말하고 있는 바인 거임? 그래서 가속기를 엄청 크게 만들어야하는 이유인 거고? (충분한 position space를 취해서 momentum을 최대한 narrow하게 만드는)
김양자// 우리가 아는 통상적인 vector space의 센스는 아니다에요. https://en.m.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space
그건 에너지를 키워서 subatomic particle 보려는 거고 저기 나오는 오차는 현존 가속기로도 불가능할 거 같은데 Rigged hIlbert space에서는 확률을 구하는 게 어려운데 물리적으로 말이 안되지 않냐에 대한 설명을 하고 있는 듯
오 그러니까 우리가 통상 다루는 게 르벡 적분가능한 함수(L2 integrable)였는데 지금 이 문장에서 얘기하는 case가 그게 아닌 경우도 가능한 공간이 있다? 라는건가
그래서 실제 양자역학에서 쓰는 Hilbert space는 Cauchy equivalence를 통해 quotient 시킨 녀석이죠.
김양자// 정확히는 함수를 확장한 distribution의 센스에서 가능하다는 거예요.
아아 dirac delta가 엄밀히 function은 아니니까 QM에서 쓰는 Hilbert space가 사실 Quotient space였구나?
그렇게 볼 수 있겠습니다. 위에서 182님이 말씀하신 게 Schwartz space고요.
와 여기 진짜 똑똑하신분들 많아졌네 ㅋㅋ
실험 오차가 sensing 가능한 수준보다 더 타이트하지만 실제 delta peak은 아닌 그런 평면파 like를 찾을 수 있다 나도 샹카 읽은지가 좀 돼서 다 까먹은 듯
이게 |p - p0| < epsilon 내에서는 normalized 가능하다는걸로 볼 수 있다는거군..
ㅇㅇ
완벽하게 이해한건 아닌데 궁금증이 어느정도 해소됨 ㄱㅅㄱㅅ