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앞서 설명했듯이 수체계로 차원을 분류 할 수 있었습니다. 이러한 아이디어의 이점은 무엇일까요? 바로 수체계를 집합의 관계로 생각할 수 있듯이

차원도 집합의 관계로 생각할 수 있게 되었다는 것입니다. 각각의 상위 차원이 각각의 하위 차원들을 포함하고 있는 조직적인 구조를 가진다는 것이죠.

이는 서로 구분되는 두 개의 3차원이 있다고 하면 그 3차원들은 각각 서로 다른 3차원 미만의 하위 차원들을 조직하고 있다는 것입니다.

마찬가지로 하나의 4차원은 그 하위 차원으로서 4차원 미만의 차원들을 독자적으로 포함하고 있다고 생각할 수 있겠죠.

그리고 우리가 우주를 전체 집합이라고 생각하듯이 가장 높은 차원을 우주의 차원이라 정할 수 있게 됩니다.


또 직선을 3차원으로 정의한다는 것은 매우 위상수학적인 발상입니다. 왜 그럴까요? 도넛 모양과 찻잔이 위상 동형이라면 우리는 둘 중

어느 것이 더 단순한 모양이라고 생각할까요? 또 위상 동형이지만 톱니바퀴 모양보다 그저 원이 모양이 더 단순하게 느껴지듯이 제가 생각하는

위상수학의 목적은 바로 단순화라는 것입니다. 즉, 3차원을 입체로 생각하는 것보다 직선으로 생각하는 것이 더 편하기에 위상수학적이라는 것이죠.

그리고 결국 선이라는 것은 크게 두 가지로만 나누어질 수 있습니다. 직선과 곡선이죠. 즉, 우리는 이제 두 종류의 선의 특성만 고려하면 되는 것입니다. 

앞서 직선에 차원을 부여했듯이 이제 곡선에도 차원을 부여하면 되겠죠. 그리고 관련해서는 이미 수학계에 복소평면이란 방법으로 설명이 존재합니다.


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쉽게 복소평면 위에 반지름이 1인 원이 있다고 할 때 실수축을 1차원이 아닌 3차원으로 놓고 허수축을 2차원이 아닌 4차원으로 설정하면 된다는 것이죠.


결국 2차원적으로 4차원까지 생각할 수 있게 되었는데 그럼 5차원은 어떻게 정의해야 할까요? 여기서 5차원을 축을 하나 더 추가해서 이를테면 구 형태의


3차원을 5차원적으로 생각할지 아니면 연속의 곡선을 5차원으로 정의하고 그 5차원에 유리수적으로 불연속 존재하는 점들을 4차원으로 정의하느냐의


방법이 있게 됩니다. 엔트로피의 법칙과 변화에 의한 보존 법칙, 그리고 위상 수학적으로 생각해볼 때 저는 후자가 더 효율적이라고 생각합니다. 


그리고 4차원을 그렇게 정의하기로 또 한 가지의 이유는 자연로그의 밑e 때문이기도 합니다.

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원래 1보다 큰 수는 무한히 제곱하면 무한대가 되고 1보다 작은 수는 무한대로 제곱하면 무한소에 가까워져야 합니다. 그런데 이상하게도 e는 무한히


커지지 않고 약 2.7182...로 수렴합니다. 또 차원의 한계를 5차원으로 정했을 때 1의 3제곱을 3차원으로 정한다면 1의 10제곱도 결국 5차원에 포함되어야


하고 1의 무한 제곱도 5차원 이하가 되어야 합니다. 즉, 1^3이 위의 복소평면상의 원의 실수축 1에 위치하게 된다면 무한하게 '연속으로' 제곱할 수


있다고 할 경우 그 값이 원주율인 파이가 되어야 합니다. 하지만 그 값은 파이가 아닌 e가 됩니다. 즉, 연속으로 무한히 제곱하지 못하고 불연속으로 무한히


제곱한 것이기 때문에 원주율이 아닌 e가 나오는 것입니다. 이는 유리수로 직선을 완비시키지 못해 유리수보다 상위 차원인 3차원이 필요했을 때와


마찬가지로 곡선을 완비시키는 것에도 차원이 하나 더 있어야 한다는 것이죠. 결국 이렇게 2차원적으로 5차원을 하나의 계로 완성할 수 있었습니다.


이는 무한이란 개념을 재규격화한 것이기도 하죠. 그리고 결국 이를 통해 우리는 변화가 불연속이라는 것을 차원적으로 증명할 수 있게 됩니다.



4차원들이 5차원 내에서 불연속으로 존재하고 있고, 위의 복소평면의 위쪽의 반원 부분만 고려해서 생각해보면, 하나의 4차원의 지점과


일대일 대응 되는 3차원 실수축 위의  점 하나가 있게 되죠(삼각함수). 즉, 그 일대일 대응 되는 3차원은 상위 차원인 4차원이 불연속으로 존재하기 때문에


그 하위 차원인 3차원도 불연속이게 된다는 것입니다. 그런데 물론 이것은 엔트로피적인 관점에서의 해석입니다. 연속인 5차원의 엔트로피가 증가하면


불연속적인 4차원으로 보여야 하기 때문에 복소평면상으로는 4차원이 유리수처럼 그렇게 불연속으로 표현 되었지만, 기존의 차원론의 설명대로라면


상위차원은 하위차원의 연속체로 설명할 수 있기 때문입니다. 결국 엔트로피를 적용한 해석이 필요한 이유는 변화하는 것처럼 보이는 이유를


설명하기 위함입니다. 즉, 변화는 불연속으로 밖에는 설명될 수 없다는 것이죠.


이를 이해하시려면 제 책인 완전론을 읽고 다음에 현대자연철학을 읽으시면 됩니다.