1. 없음과 있음의 차원론

우리는 무언가가 있음으로써 무언가가 없다는 것도 상상할 수 있습니다.


예를 들어 테이블 위에 사과가 있는 것을 상상 할 수 있듯이 사과가 없다는 것 또한 상상 할 수 있다는 것이죠.


비슷한 방법으로 점을 0차원으로 가정하면 0차원이 없음도 상상 할 수 있습니다. 


이를 기존의 차원론의 경우로 생각해보면 1차원 선의 없음, 2차원의 면이 없음, 3차원의 입체가 없음과


그 이상의 차원에서도 이를 생각할 수 있게 됩니다. 이는 결국 없음의 개념에도 차원을 적용할 수 있다는 것을 


의미합니다. 쉽게 말해서 우주에 아무것도 없는 상황을 '가정'하더라도 그 없음이 차원적으로 몇 차원까지 없음인가?


의 질문이 가능해진다는 겁니다. 그리고 물론 그 반대인 있음에도 몇 차원까지 있음을 적용할 수 있는가를 물을 수 있겠죠.


그런데 문제는 기존의 차원론의 경우 무한 차원이란 것이 존재할 수 있게 되고. 상위 차원이 하위 차원을 포함할 수 있기에


아리스토텔레스의 제 1원인론의 필요성이 요구되었던 경우와 같이 원인의 무한 회귀의 딜레마에 빠지게 된다는 것입니다.


결국 차원을 한정 시켜서 생각할 수 있어야 원인의 무한 회귀의 딜레마와 거의 동치의 문제에서 벗어날 수 있다는 것이죠.


저의 경우 차원을 5차원으로 한정하여 그 한계를 명확히 하였습니다.



2. 차원의 엔트로피

선 위에는 무수한 점이 있다고 생각할 수 있는 것처럼 상위차원은 하위차원을 포함하고 있는 것이다란 생각이 가능해집니다.


그리고 차원에도 엔트로피라는 개념을 적용할 수 있다고 가정할 때 차원의 엔트로피가 증가한다면 어떻게 되어야 할까요?


결국 어떤 차원이 엔트로피가 증가하여 그 상위 차원이 되는 것은 엔트로피 법칙에 위배되니 가능한 것은 무엇일까요?


어떤 차원이 그 하위 차원이 되는 것이 가능해 지겠죠. 차원에 엔트로피를 정말 적용할 수 있다면 말이죠.


그런데 문제는 3차원이 2차원이 되는 것이 에너지를 보존하는 것일까요?


이는 결국 정말 어떤 차원이 그 하위 차원이 되느냐? 아니면 어떤 차원이 그 하위 차원으로 보일 뿐이냐? 의 문제가 됩니다.


3차원이 우리 눈에는 2차원적으로 보이는 것을 보면 후자도 현상적인 증거가 있습니다.


그리고 만약 그 어떤 차원이 그 하위 차원으로 보이는 것을 엔트로피 증가라고 정의할 수 있다면


에너지는 항상 보존 되는 것이며 우리 인간이 느끼는 우주의 변화도 쉽게 설명 할 수 있게 됩니다.



3. 3차원을 넘어서
앞서의 엔트로피와 관련된 설명입니다.

6면체 주사위가 있다고 해봅시다. 그리고 평평한 바닥에서 윗 면을 다른 면이 안 보이게 보고 있다고 해보죠.

사실 우리 눈으로 사물을 보는 방식이 이와 다를 바가 없습니다. 차원의 엔트로피가 증가하는 것이 차원의 단면을

보는 것이거나 또는 해당 차원이 하위 차원으로 낮아지는 것이라면 어쨌든 엔트로피가 증가한다는 것의 의미는

상위 차원이 한 차원 낮게 측정 된다는 것이 핵심이 되겠죠. 그런데 앞서 주사위의 윗면이 어떻게 나왔든 다른 눈들도

결국 사라진 건 아니듯이 무언가 있던 것이 안 보인다고 없어졌다고 생각하는 것은 너무 쉽게 판단한 것일 수 있겠죠.

마치 우리가 현재에 결정된 것을 보고 다른 확률들이 사라졌다고 생각하는 것처럼 말이죠.

또 3차원의 한 면을 우리는 2차원으로 인식하는데 그보다 높은 4차원은 우리가 어떻게 인식하고 있을까요?

또 만약 4차원을 어찌 어찌 잘 정의한다고 했을 때 우리는 5차원이 무엇인지도 생각해볼 수 있게 됩니다.

관련하여 위상수학에서의 설명은 다음과 같습니다.

2차원의 어떤 모양이 있다고 할 때 그 모양 내부에 빈 부분이 생기게 될 경우 그 모양은 3차원 내부에 존재하는 2차원 모양이 됩니다.

마찬가지로 1차원의 직선이 있을 때 그 선이 중간에 잘려진 경우가 생긴다면 그 1차원은 2차원 내부에 존재하는 1차원이 되겠죠.

공통점은 해당 차원의 내부에 해당 차원의 작용으로는 만들어 질 수 없는 부분이 생기게 된다는 겁니다.

이를 모든 차원에 일반화 할 수 있는 방법이 있을까요? 앞서 설명했듯이 차원에 엔트로피를 적용할 수 있을 때

어떤 차원의 엔트로피의 증가는 해당 차원의 하위 차원이 될 수 있는 그 차원의 단면(한면)으로 측정 된다는 것이었습니다. 

그래서 1차원의 경우는 가로의 직선이 세로로 잘리는 경우가 되고. 2차원의 경우 면 내부에 빈 면이 생기는 경우가 되는데

이를 3차원에 적용하면 어떻게 되어야 할까요? 3차원 입체 내부에 3차원적 빈 공간이 생겨야 하겠죠.

다시 말해 4차원의 엔트로피 증가에 의해 측정 되는 차원이 3차원이라면 이는 3차원 내부에 생기게 되는 빈 3차원 공간이라는 것이죠.

그렇다면 5차원 내부에 존재하는 4차원의 경우는 어떻게 생각할 수 있을까요? 

이는 다시 말해서 5차원의 엔트로피가 증가하면 어떻게 되는가?와 동치가 됩니다.

만약 4차원을 시간이나 확률로 정의 될 수 있다면  5차원의 엔트로피가 증가 할 경우 연속으로 존재하고 있던

시간 또는 확률이 비어있게 되어 보이는 경우가 생기게 될 겁니다. 이는 마치 제가 왼쪽과 오른쪽의 갈림길 앞에 서 있을 때

선택하기 전에는 왼쪽으로 갈 확률이 있고 오른쪽으로 갈 확률이 있을 때, 한쪽을 선택하게 되면 다른 한 쪽의 확률이

사라진 것처럼 보이는 경우가 되겠죠. 물론 에너지 보존 또는 확률 보존이 되려면 해당 확률이 사라진 것이 아니라

그냥 그렇게 보이는 것 뿐이란 것이죠. 5차원의 엔트로피 증가를 이처럼 물리학적으로 해석할 수 있듯이

다른 현상들도 물리학적으로 해석할 수 있습니다. 입자와 물질의 파동-입자 이중성도 마찬가지로 해석하면 되겠죠.

빛을 연속인 직선으로 정의 할 때 빛의 이중성은 적어도 해당 차원 이상의 엔트로피 증가로 인해 발생하는 현상이 된다는 것이죠.

4. 이분법의 역설의 해소(feat. 수체계의 차원)
앞서 설명했듯이 수직선 위에 자연수와 유리수는 불연속으로 위치하고 있습니다. 그런데 어떤 고정된 지점에 가장 가까운 유리수를 생각해볼 때

두 지점 사이에 무한소라는 개념이 생기게 됩니다. 그런데 그 무한소는 0일까요? 아닐까요? 이와 관련된 오래 된 역설이 있습니다.

바로 제논의 역설중 이분법의 역설이 그것입니다. 결국 이 이분법의 역설을 다르게 표현해보자면 다음과 같습니다.

'서로 떨어진 연속이 아닌 두 점을 어떤 방식으로든 다시 연속으로 이어지게 만들 수 있는 방법이 있는가?' 

제논은 서로 떨어진 두 지점의 길이를 반으로 계속 나누어가며 두 점을 붙여보는 사고 실험을 했지만 그것이 불가능하다는 것을 알았습니다.

즉, 쉽게 말해서 제논의 이분법의 역설은 수직선을 유리수로 완비 시키려한 방법이었고 그것이 실패한 것이죠.

그런데 위의 문제를 좀 더 어렵게 만들어 보죠. 서로 한 점에서 접하는 반지름이 같은 두 원이 있다고 가정해보죠.

각 원의 독립성을 유지한 채 두 원의 중심점이 최대로 가까워 지려면 각각의 원의 반지름이 0에 무한대로 가까워야 합니다.

물론 2차원의 원이라는 조건을 유지한 채 반지름을 무한하게 줄인다고 해서 두 점이 연속이 될 수는 당연히 없겠죠.

결국 두 원점을 유일하게 연속으로 만들 수 있는 방법은 3차원적으로 두 원의 중심점을 기준으로 두 원을 위와 아래로

겹치는 경우 뿐이게 됩니다. 또 이러한 방식을 계속 반복하면 형성되는 모양이 원기둥이라는 것을 쉽게 상상할 수 있을 겁니다.

또 그 세워진 원기둥의 윗부분을 보면 중점이 하나로 보이게 되지만 그 원기둥의 옆에서 보면 중심에 원점이 연속으로

직선의 형태를 이루고 있게 되죠. 결국 3차원까지 확장을 해야 떨어진 두 점을 연속으로 만들 수 있고, 수직선이 무리수를 통해

완비 될 수 있었던 이유도 무리수의 차원이 3차원이기 때문입니다. 즉, 수체계에서 정수의 차원이 1차원이라면

유리수는 2차원, 무리수는 3차원이라는 것이죠.


5. 극한값에 대한 새로운 철학의 필요성
수직선이 있다고 할 때 0에서부터 10까지 어떤 점이 수직선 위에서 변위한다고 해봅시다.

먼저 그 점이 연속으로 10에 다가가는 경우가 있고 불연속으로 다가가는 경우가 있을 겁니다.

또 불연속으로 접근하는 경우는 자연수의 배수로 10에 다가가는 경우가 있고

유리수의 배수로 10에 다가가는 경우가 있게 됩니다. 연속의 경우는 실수의 형태로 다가가야 하고요.

그렇다면 만약 물질의 변화가 불연속일 경우 기존 뉴턴과 라이프니츠가 사용했던 방식으로

가속도를 미분을 통해 구할 수 있을까요? 구할 수 없게 됩니다. 

따라서 다른 방식의 접근이 당연하게도 필요하게 됩니다.

그와 관련된 철학적 질문이 양밀스질량간극가설이고 말이죠.

6. 물리학과 수학의 차원적 통합
앞서 설명했듯이 수체계로 차원을 분류 할 수 있었습니다. 이러한 아이디어의 이점은 무엇일까요? 바로 수체계를 집합의 관계로 생각할 수 있듯이

차원도 집합의 관계로 생각할 수 있게 되었다는 것입니다. 각각의 상위 차원이 각각의 하위 차원들을 포함하고 있는 조직적인 구조를 가진다는 것이죠.

이는 서로 구분되는 두 개의 3차원이 있다고 하면 그 3차원들은 각각 서로 다른 3차원 미만의 하위 차원들을 조직하고 있다는 것입니다.

마찬가지로 하나의 4차원은 그 하위 차원으로서 4차원 미만의 차원들을 독자적으로 포함하고 있다고 생각할 수 있겠죠.

그리고 우리가 우주를 전체 집합이라고 생각하듯이 가장 높은 차원을 우주의 차원이라 정할 수 있게 됩니다.


또 직선을 3차원으로 정의한다는 것은 매우 위상수학적인 발상입니다. 왜 그럴까요? 도넛 모양과 찻잔이 위상 동형이라면 우리는 둘 중

어느 것이 더 단순한 모양이라고 생각할까요? 또 위상 동형이지만 톱니바퀴 모양보다 그저 원이 모양이 더 단순하게 느껴지듯이 제가 생각하는

위상수학의 목적은 바로 단순화라는 것입니다. 즉, 3차원을 입체로 생각하는 것보다 직선으로 생각하는 것이 더 편하기에 위상수학적이라는 것이죠.

그리고 결국 선이라는 것은 크게 두 가지로만 나누어질 수 있습니다. 직선과 곡선이죠. 즉, 우리는 이제 두 종류의 선의 특성만 고려하면 되는 것입니다. 

앞서 직선에 차원을 부여했듯이 이제 곡선에도 차원을 부여하면 되겠죠. 그리고 관련해서는 이미 수학계에 복소평면이란 방법으로 설명이 존재합니다.


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쉽게 복소평면 위에 반지름이 1인 원이 있다고 할 때 실수축을 1차원이 아닌 3차원으로 놓고 허수축을 2차원이 아닌 4차원으로 설정하면 된다는 것이죠.


결국 2차원적으로 4차원까지 생각할 수 있게 되었는데 그럼 5차원은 어떻게 정의해야 할까요? 여기서 5차원을 축을 하나 더 추가해서 이를테면 구 형태의


3차원을 5차원적으로 생각할지 아니면 연속의 곡선을 5차원으로 정의하고 그 5차원에 유리수적으로 불연속 존재하는 점들을 4차원으로 정의하느냐의


방법이 있게 됩니다. 엔트로피의 법칙과 변화에 의한 보존 법칙, 그리고 위상 수학적으로 생각해볼 때 저는 후자가 더 효율적이라고 생각합니다. 


그리고 4차원을 그렇게 정의하기로 또 한 가지의 이유는 자연로그의 밑e 때문이기도 합니다.

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원래 1보다 큰 수는 무한히 제곱하면 무한대가 되고 1보다 작은 수는 무한대로 제곱하면 무한소에 가까워져야 합니다. 그런데 이상하게도 e는 무한히


커지지 않고 약 2.7182...로 수렴합니다. 또 차원의 한계를 5차원으로 정했을 때 1의 3제곱을 3차원으로 정한다면 1의 10제곱도 결국 5차원에 포함되어야


하고 1의 무한 제곱도 5차원 이하가 되어야 합니다. 즉, 1^3이 위의 복소평면상의 원의 실수축 1에 위치하게 된다면 무한하게 '연속으로' 제곱할 수


있다고 할 경우 그 값이 원주율인 파이가 되어야 합니다. 하지만 그 값은 파이가 아닌 e가 됩니다. 즉, 연속으로 무한히 제곱하지 못하고 불연속으로 무한히


제곱한 것이기 때문에 원주율이 아닌 e가 나오는 것입니다. 이는 유리수로 직선을 완비시키지 못해 유리수보다 상위 차원인 3차원이 필요했을 때와


마찬가지로 곡선을 완비시키는 것에도 차원이 하나 더 있어야 한다는 것이죠. 결국 이렇게 2차원적으로 5차원을 하나의 계로 완성할 수 있었습니다.


이는 무한이란 개념을 재규격화한 것이기도 하죠. 그리고 결국 이를 통해 우리는 변화가 불연속이라는 것을 차원적으로 증명할 수 있게 됩니다.



4차원들이 5차원 내에서 불연속으로 존재하고 있고, 위의 복소평면의 위쪽의 반원 부분만 고려해서 생각해보면, 하나의 4차원의 지점과


일대일 대응 되는 3차원 실수축 위의  점 하나가 있게 되죠(삼각함수). 즉, 그 일대일 대응 되는 3차원은 상위 차원인 4차원이 불연속으로 존재하기 때문에


그 하위 차원인 3차원도 불연속이게 된다는 것입니다. 그런데 물론 이것은 엔트로피적인 관점에서의 해석입니다. 연속인 5차원의 엔트로피가 증가하면


불연속적인 4차원으로 보여야 하기 때문에 복소평면상으로는 4차원이 유리수처럼 그렇게 불연속으로 표현 되었지만, 기존의 차원론의 설명대로라면


상위차원은 하위차원의 연속체로 설명할 수 있기 때문입니다. 결국 엔트로피를 적용한 해석이 필요한 이유는 변화하는 것처럼 보이는 이유를


설명하기 위함입니다. 즉, 변화는 불연속으로 밖에는 설명될 수 없다는 것이죠.



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수체계의 차원론.pdf

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