infinite dimensional인건 확인했는데 왜 spin에 대응되는건 2x2로 reduction되는지 교재에 안나오네
Electron spin ㅇㅇ
그냥 갑자기 hbar/2에 해당하는 block으로 restrict된다고 해서 당황쓰
댓글 12
사실 거기서 나오는 차원은 그냥 representation의 차원이라 본질적인 건 아니고 결국 어떻게 스핀 s값에 연산자의 (2s+1)차원 표현이 대응되는가를 봐야 할 듯
익명(212.102)2025-04-24 21:10:00
답글
이게 total angular momentum이 block diagonal인데 Block마다 하나의 ptl에 대응된다고 생각하면 될까?
김양자(drag9675)2025-04-25 00:59:00
답글
Wigner's classification?
익명(212.102)2025-04-25 02:30:00
왜 전자의 스핀이 ½이냐는 질문과도 같다고 생각이 드는데요, 전자의 특성이 그렇기 때문이라고밖에는 답할 수 없을 것 같습니다.
Mool린이(matter0126)2025-04-24 22:49:00
답글
흠 근데 그래도 보통 이유는 있지 않나
Rest mass도 intrinsic property지만 힉스 메커니즘으로 인해 정해지는것처럼
김양자(drag9675)2025-04-25 00:59:00
답글
아주 근본적으로는 명쾌한 답변이 아닐 수도 있겠습니다.
J는 일단 '임의의' 상태에 작용하는 오퍼레이터라고 보통 생각을 하고 전개를 합니다. 때문에 특정 입자의 상태를 표현하는 스페이스가 한정되어 있다면 당연히 모든 j값을 가지지 못할 수 있습니다.
전자의 상태를 표현하는 공간 중 궤도 각운동량을 제외한 부분이 스핀 연산자가 작용하는 공간입니다. 그 공간이 j = 1/2로만 한정된 공간인 것은 전자가 그런 특성을 가진 입지라서라고밖에는 대답할 수 없을 것 같습니다.
Mool린이(matter0126)2025-04-25 02:28:00
답글
아 궤도 각운동량을 제외한 부분이라고 하는 것은 옳지 못한 표현인 것 같네요. 아무튼 고전적으로는 3차원 파동함수를 제외한 부분에 해당하는 공간이 그런 공간이라서가 제가 생각하는 답변입니다.
Mool린이(matter0126)2025-04-25 02:30:00
이미 잘 아시겠지만 디랙방정식에서 gamma(alpha, beta)를 만족하는 조건이 행렬(4×4)로 나오기 때문으로 저는 이해했습니다 그러면 왜 로렌츠 불변(특수상대론)하게 하면 스핀(또는 입자의 내부구조?)이 튀어나오는 지는 궁금하네요. 그리고 공간회전이 아닌, 시공간 병진이동에 대한 것인데 스핀이 나오는지도 갑자기 궁금해지네요
제가 잘못이해하고 있는것 같기도 하고...
위에서 말씀해주신 Wigner's classification은 "입자란 푸앵카레 군에 대한 하나의 불변 유니터리 표현(irreducible unitary representation)이다"라고 한다는데, 더 넓은 범위에서의 대답같기도 합니다 위그너 분류는 잘 몰라서, 다른분이 더 설명해주셨으면 좋겠네요
잘못된 점 있으면 지적부탁드려요!
익명(149.102)2025-04-25 14:48:00
답글
일단 장론에서 입자는 양자장 오퍼레이터의 들뜬 상태로 정의가 되고, 그렇기 때문에 입자를 규정하거나 입자의 종류를 구분 한다는 것은 상태를 규정하거나 구분한다는 것과 마찬가지인데 이 상태들에 여러 대칭 변환들을 작용한 다음 어떻게 변환되는지 관찰해 볼 수가 있겠죠. 예를 들어 수소 원자의 에너지 고유 상태들은 계에 회전 대칭성이 있기 때문에 회전 변환을 가했을 때 불변이거나 불변은 아니더라도 특정 방식으로 이쁘게 변환되어야 하는 것처럼요. 민코프스키 시공간을 배경으로 정의된 연산자들의 고유 상태는 이 공간의 대칭 변환(푸앵카레 군의 원소들)에 대해서 저마다의 방식으로 잘 변환될 것이고 이 변환되는 방식으로 상태들을(입자들을) 구분할 수 있는 거죠.
Mool린이(matter0126)2025-04-26 15:00:00
답글
로렌츠 변환(부스트+회전)에 대해서 변하지 않으면 s = 0인 입자, 4-vector처럼 변환되면 s = 1인 입자, 스피너처럼 변환되면 s = 1/2인 입자 이런 식으로요. 표현론의 언어를 쓰면 각 상태들이 대칭군의 스핀 s 표현에 해당하는 거고, 그래서 입자들이 대칭군의 표현에 해당한다고 얘기할 수 있게 되는 거죠.
Mool린이(matter0126)2025-04-26 15:01:00
답글
스핀에 대해서만 얘기했는데 병진이동에 대해서도 마찬가지고, 반정수 스핀 같은 경우에는 사실 푸앵카레 군이 아니라 그 피복군을 봐야 하고, 이게 양자론에서는 연산자의 그냥 선형표현이 아닌 사영표현을 고려해야 하는데 그러면서 자연스럽게 들어오게 됩니다.
Mool린이(matter0126)2025-04-26 15:02:00
답글
디랙 방정식 유도할 때, 특수상대론의 에너지 공식을 이용하는데, 특수상대론은 관성계간의 부스트를 고려하므로(위에 시공간 병진이동이라고 잘못 알고 씀) 로렌츠 변환이 부스트만 고려하는 줄 알았는데, 회전까지 포함한다니.. 제가 특수상대론을 너무 기초적으로만 알고있었네요..
사실 거기서 나오는 차원은 그냥 representation의 차원이라 본질적인 건 아니고 결국 어떻게 스핀 s값에 연산자의 (2s+1)차원 표현이 대응되는가를 봐야 할 듯
이게 total angular momentum이 block diagonal인데 Block마다 하나의 ptl에 대응된다고 생각하면 될까?
Wigner's classification?
왜 전자의 스핀이 ½이냐는 질문과도 같다고 생각이 드는데요, 전자의 특성이 그렇기 때문이라고밖에는 답할 수 없을 것 같습니다.
흠 근데 그래도 보통 이유는 있지 않나 Rest mass도 intrinsic property지만 힉스 메커니즘으로 인해 정해지는것처럼
아주 근본적으로는 명쾌한 답변이 아닐 수도 있겠습니다. J는 일단 '임의의' 상태에 작용하는 오퍼레이터라고 보통 생각을 하고 전개를 합니다. 때문에 특정 입자의 상태를 표현하는 스페이스가 한정되어 있다면 당연히 모든 j값을 가지지 못할 수 있습니다. 전자의 상태를 표현하는 공간 중 궤도 각운동량을 제외한 부분이 스핀 연산자가 작용하는 공간입니다. 그 공간이 j = 1/2로만 한정된 공간인 것은 전자가 그런 특성을 가진 입지라서라고밖에는 대답할 수 없을 것 같습니다.
아 궤도 각운동량을 제외한 부분이라고 하는 것은 옳지 못한 표현인 것 같네요. 아무튼 고전적으로는 3차원 파동함수를 제외한 부분에 해당하는 공간이 그런 공간이라서가 제가 생각하는 답변입니다.
이미 잘 아시겠지만 디랙방정식에서 gamma(alpha, beta)를 만족하는 조건이 행렬(4×4)로 나오기 때문으로 저는 이해했습니다 그러면 왜 로렌츠 불변(특수상대론)하게 하면 스핀(또는 입자의 내부구조?)이 튀어나오는 지는 궁금하네요. 그리고 공간회전이 아닌, 시공간 병진이동에 대한 것인데 스핀이 나오는지도 갑자기 궁금해지네요 제가 잘못이해하고 있는것 같기도 하고... 위에서 말씀해주신 Wigner's classification은 "입자란 푸앵카레 군에 대한 하나의 불변 유니터리 표현(irreducible unitary representation)이다"라고 한다는데, 더 넓은 범위에서의 대답같기도 합니다 위그너 분류는 잘 몰라서, 다른분이 더 설명해주셨으면 좋겠네요 잘못된 점 있으면 지적부탁드려요!
일단 장론에서 입자는 양자장 오퍼레이터의 들뜬 상태로 정의가 되고, 그렇기 때문에 입자를 규정하거나 입자의 종류를 구분 한다는 것은 상태를 규정하거나 구분한다는 것과 마찬가지인데 이 상태들에 여러 대칭 변환들을 작용한 다음 어떻게 변환되는지 관찰해 볼 수가 있겠죠. 예를 들어 수소 원자의 에너지 고유 상태들은 계에 회전 대칭성이 있기 때문에 회전 변환을 가했을 때 불변이거나 불변은 아니더라도 특정 방식으로 이쁘게 변환되어야 하는 것처럼요. 민코프스키 시공간을 배경으로 정의된 연산자들의 고유 상태는 이 공간의 대칭 변환(푸앵카레 군의 원소들)에 대해서 저마다의 방식으로 잘 변환될 것이고 이 변환되는 방식으로 상태들을(입자들을) 구분할 수 있는 거죠.
로렌츠 변환(부스트+회전)에 대해서 변하지 않으면 s = 0인 입자, 4-vector처럼 변환되면 s = 1인 입자, 스피너처럼 변환되면 s = 1/2인 입자 이런 식으로요. 표현론의 언어를 쓰면 각 상태들이 대칭군의 스핀 s 표현에 해당하는 거고, 그래서 입자들이 대칭군의 표현에 해당한다고 얘기할 수 있게 되는 거죠.
스핀에 대해서만 얘기했는데 병진이동에 대해서도 마찬가지고, 반정수 스핀 같은 경우에는 사실 푸앵카레 군이 아니라 그 피복군을 봐야 하고, 이게 양자론에서는 연산자의 그냥 선형표현이 아닌 사영표현을 고려해야 하는데 그러면서 자연스럽게 들어오게 됩니다.
디랙 방정식 유도할 때, 특수상대론의 에너지 공식을 이용하는데, 특수상대론은 관성계간의 부스트를 고려하므로(위에 시공간 병진이동이라고 잘못 알고 씀) 로렌츠 변환이 부스트만 고려하는 줄 알았는데, 회전까지 포함한다니.. 제가 특수상대론을 너무 기초적으로만 알고있었네요..