(필자는 독자가 기초적인 미분학을 이미 학습했다고 가정한다)
물체가 힘F를 받아 a 에서 b까지 이동했을때.

힘F가 물체에게 한일 W는 다음과 같이 정의된다.


W = F*Δr*cosθ (1-1)

이다.

이떄 Δr은  r_b - r_a이다.

다음식은 변위에 수직한 분력은 일과 상관없음을 보여준다.


힘과 변위의 방향이 일치할때 일의 시간의 따른 변화량(미분은)은


dW/dt =F*v (1-2)

이다.


즉

dW = F*v*dt (1-3)


해당식으로 일의 미소량이 힘과 속도 그리고 미소시간의 곱으로 나타낼수 있음을 일수있다.

물론 해당식을 시간으로 적분하여 구간의 누적 일을 구할수있다.


W = ∫ t_a,t_b(구간)  F*v*dt (1-4)


또한 힘이 물체에게 한일이 ΔW일때  Δt동안 한 평균일률 -P-는


-P- = ΔW/Δt (1-5)이다


시간을 0으로 보내면 즉 극한을 취했을때의 P를 순간적일률이라고 하며 이때


P = lim Δt->0 ΔW/Δt =dW/dt (1-5) 이다


누적된일을 순간적일률로 표현할수있는데

W=F*r임으로 dW/dt = F*v이기때문에


W = ∫ t_a,t_b(구간)  P*dt (1-6)


이다.



 

그럼 과연 같은 운동을 한 물체들이 다른 참고계를 가졌을때 

힘이 한일W는 같은가 다른가?


S기준계에서 두힘이 작용-반작용 쌍일 때.

두힘은 서로다른 물체m_1,m_2에 작용하여 F_1=-F_2가 성립한다

이때 미소시간동안 기준계에서 이 두힘의 미소일의 합은


dW = F_1*v_1*dt + F_2*v_2*dt

이다


S'기준계에서 S'가 S에 대해 u로 등속운동한다 하자


그러면 v_1 = v'_1 + u ,  v_2 = v'_2 + u 이다


따라서 기준계S'의 미소일의 합은


dW' = F_1*(v_1 - u)*dt + F_2*(v_2 - u)*dt 


=( F_1*v_1 + F_2*v_2)*dt  - (F_1 + F_2)*u*dt


이때 F_1과 F_2는 작용-반작용에서 온다 즉


(F_1 + F_2)*u*dt =0


이고


W = W'

이 성립된다 즉

힘이 한일은 두기준계에서 서로같다.