뉴턴 제 2법칙의 의해


F = m*a = m*dv/dt


질점이 합외력 F의 작용하여 공간위치 a에서 b로 이동할때 힘이 한일은


W = ∫ b,a F*dr =∫ b,a m*dv/dt *dr =  ∫ b,a m*v*dr


적분을 수행하면


W = ∫ b,a m*v*dr =1/2*m*v |b_a = ΔE_k


위등식은 힘이 질점에 한일은 질점의 운동에너지 증가량과 같다는것을 나타낸다.

1/2*m*v  = E_k 이것을 운동에너지라고 부른다.유도과정을 보면 알수있듯이 운동에너지는 뉴턴의 제 2법칙에서 도출되는 등가형이며.

따라서 관성계 안에서만 성립한다.


증명은 다음과 같다


F*dr = dE_k임으로

F*v =  dE_k/dt


E_k는 1/2*m*v^2임으로


F*v =  dE_k/dt = d(1/2*m*v^2)/dt=1/2*m(dv/dt *v + v*dv/dt)


마지막항을 첫번째 항으로 이항하면


F*v - 1/2*m(dv/dt *v + v*dv/dt) 

= (F - m*a)*v 

=0


물론 v가 0이 아닐수 있지만 해당식은 임의의 v에 대해 성립해야함으로 필요조건은


F = ma


임을 요구한다. 증명완료