최근 많은 사고실험들을 해보면서 온도의 근본적인 정의에 대해 의문을 품게되었음.



일단 첫번째 궁금증은, '온도가 모든 앙상블에서 잘 정의되는가' 임.


온도가 모든 앙상블에서 잘 정의된다고 가정해보자.
정의를 짚어보면, 엔트로피: S = K ln(Ω) Ω: 거시계가 평형 상태에 있을때 평형 상태의 물리적인 제약을 만족하는 미시상태의 수
계의 온도: ∂S/∂E = 1/T.



사고실험:
통계역학의 거의 모든 교과서에서 다루는 예제인, 입자수 N, 에너지 E1, 부피 V인 계 1과 입자수 N, 에너지 E2, 부피 V인 계2 를 붙여 에너지 상호작용만을 허용하고 시간을 꽤 지나게 한 후 통계역학적 분석을 함. 여기서 계 1의 온도를 구할 것임. 이때 전체 계의 앙상블은 Ω_micro(E1+E2) (Ω_micro는 microcanonical ensemble) 이며, 계1 의 앙상블은 p(E1) = C* Ω1_micro(E1)Ω2_micro(E-E1) 확률로 E1 에너지 상태에 있음.
이때 계 1의 미시상태의 수는 -K∫P(E1) ln(P(E1) dE1 -K ∫P(E1)lnΩ1_micro(E1) dE1 으로 생각할 수 있음. (계 1은 microcanonical ensemble이 아님)
계1의 온도를 구할때, ∂S/∂E를 계산해야 하는데 E는 fluctuate 하므로 평균값 <E>로 잡아서 계산해봐도, S가 <E>를 제외하고 여러 미시적 요인들의 함수라는 점에서 이 미분은 엄밀하게 정의되지 않음. 이 문제를 넘기기 위해 P(E1)이 <E1> 근방에서 peak를 가지므로 lnΩ1_micro(<E1>) 로 S(<E1>)을 정의해서 이 문제를 해결했다 치면 또 다른 문제가 생김. (이 해결 방법의 엄밀성은 가정으로 넘김)


두번째 궁금증:
통계적으로 계1, 계 2의 온도가 잘 정의됐다고 생각해보자. 이 잘 정의된 온도를 T*라 하겠음.  T* =∂KlnΩ1_micro(<E1>) /∂E 이 온도는 유일하게 정의됨. 이때 갑자기 이 둘의 열적 접촉을 단열재로 차단했다고 하자. 어떠한 방법으로 계 1 의 에너지를 측정했다 하자. 통계역학의 equal priory 가정으로 계 1의 에너지는 원리적으로 어떤 값이던 가능함. 물론 peak value 아주 큰 확률로 몰려 있겠지만 energy fluctuation을 측정할수 있는 정밀도를 가진 기계로 이 계 1의 에너지를 측정하는 순간 에너지 계측기가 E1 != <E>를 가리키는 상황에서, 이 계 1의 불확정도는 microcanonical ensemble이 되고 계1의 온도는 이제 T1 != T*가 됨. 단열재로 막는 행위만으로 계 1의 정의된 온도가 변했음. 이에서 정의가 모순된 점이 있다고 생각하게 되었음.



결론적으로 정리하자면,

1. 엔트로피가 <E>의 함수조차 아닌 경우 어떻게 온도를 정의하는가? 좀 더 엄밀한 정의가 있어야 한다.
2. 계를 단열재로 떼어놓는 순간 계1의 앙상블이 바뀌고 이로 인한 온도 정의가 바뀌지 않아야 하는데 바뀐다는 것임.