D차원 점원 스케일링
푸아송 방정식 ∇²ϕ=−δ를 D차원에서 풀면 점원 퍼텐셜은 ϕ(r)∝1/r^(D−2), 그 기울기(힘)는 |F|∝1/r^(D−1)로 떨어진다. 차원이 클수록 더 빨리 약해진다가 수식으로 나온다.
가우스 법칙과의 동치
위 결과를 구면(초구) 표면적 A_D(r)∝r^(D−1)에 곱하면 플럭스 Φ≈E·A가 r과 무관한 상수로 남는다. 즉 플럭스 보존 → 희석과, 미분방정식 해 → 희석은 같은 내용을 다른 방식으로 쓴 것이다.
최단경로 거리의 삼각부등식
가중치 w≥0인 그래프에서 d(x,y)=최단경로 가중치 합으로 정의하면, x→y 경로와 y→z 경로를 이어붙인 게 x→z 경로이므로 d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)가 자동 성립한다(최단경로 정의 자체가 삼각부등식을 보장).
w=−log C의 의미
상호작용/상관이 경로를 따라 곱으로 누적된다고 두면(C_path=∏C), 로그를 취하면 −log C_path=∑(−log C)로 바뀐다. 그래서 가장 강한 상관 경로 찾기가 가중치 합이 최소인 최단경로 찾기로 변환된다.
S¹ 감김수로 전하 양자화
콤팩트 원 S¹에서 파동함수는 한 바퀴 돌아도 같은 값(단일값)이어야 해서 위상 변화가 2πn으로 제한된다. 이 n∈Z가 감김수이고, 전하를 q∝n으로 정의하면 전하가 연속이 아니라 정수배로 양자화된다.
엽층화와 ADM 분해
어떤 다양체든 Φ=τ 같은 등위면으로 잘라(엽층) 좌표를 잡으면 메트릭을 엽층 내부(h_ij) + 엽층 사이 간격(N, lapse) + 미끄러짐(N^i, shift)로 분해할 수 있다. 다만 로런츠 부호(−+++)는 엽층화만으로 생기는 게 아니라 원래 메트릭 서명이나 유효 동역학이 결정한다.
질량 정의의 재매개변수화 불변성
ds=N dτ로 고유 매개변수를 쓰고 m=|dS/ds|= (1/N)|dS/dτ|로 정의하면, τ를 τ’=f(τ)로 바꿔도 N과 미분이 같이 변해 서로 상쇄되어 m이 그대로 유지된다. 즉 시간 라벨을 어떻게 다시 붙여도 질량은 변하지 않게 만든 정의다.
스케일 불변이면 2점함수는 거듭제곱 꼴
이론이 스케일 변환 x→λx에 대해 불변이고 장의 스케일 차원이 Δ이면, 2점 상관함수는 C(λr)=λ^(−2Δ)C(r)를 만족해야 해서 C(r)∝r^(−2Δ) 형태가 강제된다(조건: 스케일/등각 대칭이 성립하는 구간).
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내가 뭘 한다 그래서 결론이 뭐다 그런것도 없이 수식 툭 던져놓으면 누가 와 흥미롭다 하고 읽기나 하겠나? - dc App
전에 쓴글의 부록이라고 보시면 됩니다.