이 글의 연장선입니다.

전자와 양성자의 군 표현 표기와 K(루프/홀로노미) 라벨 적용 예시
전자(e): 기본 물질장으로서의 표현과 K
전자에서 먼저 구분해야 하는 것은 좌키랄 성분과 우키랄 성분이다. 좌/우는 로런츠 스피너 구조에서 다음 프로젝터로 정의된다.
P_L = (1 − γ5)/2,
P_R = (1 + γ5)/2.
표준모형에서 좌성분은 SU(2)_L 이중항(doublet)에 속하고, 우성분은 SU(2)_L 단일항(singlet)으로 배치된다. 내부 게이지군 표기는 (SU(3), SU(2))_Y를 사용한다.
렙톤 좌이중항 L = (ν_e, e)L : (1, 2){−1}.
우손 전자 e_R : (1, 1)_{−2}.
전기전하는 표준 관계를 사용해 계산한다.
Q = T3 + Y/2.
이때 e_L은 이중항의 아래 성분이므로 T3 = −1/2이고 Y = −1이어서 Q = −1이 된다. e_R은 T3 = 0, Y = −2이므로 역시 Q = −1이 된다.
K(루프/홀로노미) 라벨은 다음과 같이 분해해 기록한다. 전자는 단일 입자로 취급하므로 강력(SU(3)) 링크 층은 적용 대상이 없다고 두고, SU(3) 관련 라벨은 자명 섹터로 둔다.
K_link(e) = 1.
따라서 전자에 대해서는 배경 기하(스핀연결)와 전약( SU(2)×U(1) ) 성분을 중심으로
K(e) = (K_grav, K_2, K_1)
로 기록한다.
K_1은 U(1)_Y 연결에 대한 루프 위상(홀로노미) 동치류로, 전하/하이퍼차지 가중치에 의해 루프 위상 축적이 결정된다.
K_2는 SU(2)_L 연결에 대한 루프 홀로노미 동치류로, 좌성분(e_L)에서는 이중항 표현으로 비자명한 홀로노미가 가능하고, 우성분(e_R)에서는 singlet이므로 SU(2) 홀로노미가 자명하게 된다.
K_grav는 스핀연결(배경 기하)의 루프 홀로노미 동치류이며, 전자 자체의 내부 라벨이라기보다 전자가 놓인 배경에 의해 달라지는 성분으로 분리해 기록한다.

양성자(p): 복합 상태(다중 결합)로서의 표현과 K
양성자는 기본 게이지 표현 하나로 주어지는 장(field)이라기보다, 쿼크들이 결합해 형성되는 복합 상태(바리온)로 취급한다. 따라서 양성자의 분류에는 (i) 구성 쿼크의 표현, (ii) 색 결합이 singlet로 닫히는 조건이 함께 들어간다.
표준모형에서 (한 세대 기준) 쿼크는 다음처럼 표기한다.
좌손 쿼크 이중항 Q_L = (u, d)L : (3, 2){+1/3}.
우손 업쿼크 u_R : (3, 1)_{+4/3}.
우손 다운쿼크 d_R : (3, 1)_{−2/3}.
양성자는 대략적으로 uud 조합으로 기술되며, 전기전하의 합은
Q(u)+Q(u)+Q(d) = 2/3 + 2/3 − 1/3 = +1
이 된다.
색( SU(3)_C ) 결합에서 결정적인 조건은 “색 singlet 닫힘”이다. 군론적으로는 다음 텐서곱 분해에 의해 표현된다.
3 ⊗ 3 ⊗ 3 ⊃ 1.
즉 세 개의 색 기본표현이 결합할 때 singlet(불변 성분)이 존재하며, 이 닫힘 조건이 바리온이 관측 가능한 독립 상태로 분류되는 기본 조건으로 사용된다.
K 라벨은 단일 입자와 달리 다중 결합 층이 활성화되므로
K(p) = (K_grav, K_EW(p), K_link(p))
로 기록한다.
K_link(p)는 SU(3)_C 연결의 루프/홀로노미 자료로부터 읽히는 라벨이며, 개별 쿼크의 색 홀로노미가 비자명하더라도 결합 전체는 singlet로 닫히는 섹터에 속해야 한다. 즉 K_link(p)는 “닫힘이 성립하는 섹터”로 제한된다.
K_EW(p)는 SU(2)_L×U(1)_Y 연결에 대한 루프/홀로노미 자료로부터 읽히는 라벨이다. 전하 Q=+1 조건은 U(1) 성분(K_1)에서 루프 위상 축적과 일관되게 나타나야 하며, SU(2) 성분(K_2)은 구성 쿼크의 좌이중항 구조 및 전하전류/중성전류 채널과 함께 해석된다.
K_grav는 스핀연결(배경 기하)의 루프/홀로노미 라벨이며, 양성자 고유의 내부 문법 라벨이 아니라 배경에 따른 성분으로 분리해 기록한다.
“구성 성분”과 “허용 채널”의 구분(쿼크 내부 잠재 성분)
쿼크는 약한 상호작용에 의해 맛(flavor)이 변환될 수 있으며, 전하전류(W±) 및 중성전류(Z) 채널이 존재한다. 따라서 구성 상태를 기술할 때 “순수한 성분만 존재한다”로 두기보다는, 상호작용에 의해 열릴 수 있는 변환 채널(재배치 경로)을 함께 고려하는 방식이 일반적이다.
예를 들어 다운쿼크와 업쿼크의 경우, 약력 채널을 통해 렙톤 쌍과 연결되는 변환 경로가 존재한다는 사실을 “허용 채널”로 취급할 수 있다. 이때 이러한 경로는 항상 독립된 실재 구성품이 드러난다는 뜻이 아니라, 상호작용/산란/붕괴 조건에서 나타날 수 있는 재배치 경로의 존재를 의미한다.

단일끈/다중끈 관점에서의 요약
전자(e)는 기본 물질장 표현으로 직접 표기되며, K에서는 강력 링크 층이 자명(K_link=1)으로 처리된다.
양성자(p)는 세 쿼크 결합의 복합 상태로 분류되며, 색 singlet 닫힘 조건이 포함되므로 K_link가 활성화된다. 두 경우 모두 K는 루프/홀로노미 동치류 자료로 정의되며, U(1) 성분은 전하(가중치)에 의해, SU(2) 성분은 좌이중항 구조에 의해, SU(3) 성분은 닫힘(singlet) 조건에 의해 해석이 제한된다.