끈꼬임문법이론에서 charged-lepton family의 질량은 공통 leptonic core와 세대별 위상 readout의 곱으로 기술하는 것이 가장 간결하다.

이 이론에서 charged leptons는 서로 완전히 독립인 세 입자가 아니라, 하나의 공통 위상 섹터를 서로 다른 세대 좌표에서 읽은 계로 둔다. 공통 코어를 P_e, 세대별 위상 좌표를 ξ_i로 두면 charged leptons의 leading mass term은 Higgs 기원 코어항으로 정리되어 E_H = E_H(P_e, ξ_i)로 적는다. 여기서 E_H는 Higgs 배경이 읽어내는 정지 에너지 항이고, P_e는 charged-lepton family가 공유하는 공통 위상 섹터이며, ξ_i는 전자, 뮤온, 타우에 해당하는 세대별 위상 좌표다.

family 내부 질량식은 공통 scale과 세대별 무차원 readout의 곱으로 분해한다. 따라서 기본형은

E_H(P_e, ξ_i) = Λ_e · κ_i

가 된다.

여기서 Λ_e는 charged-lepton family 전체의 공통 질량 scale이고, κ_i는 각 세대의 질량 분할을 주는 무차원 readout 함수다. 세대 구조는 3중 위상 readout으로 두고, family 전체의 기하는 Koide형 불변량으로 요약한다. charged-lepton family에 대해서는

K_e = (m_e + m_μ + m_τ) / (√m_e + √m_μ + √m_τ)^2

를 두고, 이를 3세대 정규화로 나누어

K_e / 3 = 2/9

형태로 읽는다. 그래서 세대별 readout은 κ_i(2/9)로 적는다. 이 표기에서 2/9는 개별 렙톤 하나의 상수가 아니라 charged-lepton family 전체를 제어하는 구조 파라미터다.

예전 표현에서는 Higgs 질량항을 상위 sector의 정규화, family suppression, 세대 readout, 정규화 residue를 한 줄에 함께 적었다. 이를 층별로 나누면 Higgs 결합은

λ(P, ξ) = λ_top · S_fam(P) · R(ξ)

로 쓸 수 있다. charged-lepton family에 대해서는 family suppression을 S_fam(P_e) = α로 두고, 세대 readout을 R(ξ_i) = R_e · κ_i(2/9)로 두면

E_H(P_e, ξ_i) = λ_top · Φ_H · α · R_e · κ_i(2/9)

가 된다. 여기서 family 전체에 공통인 인자들을

Λ_e := λ_top · Φ_H · α · R_e

로 묶으면 최종적으로

E_H(P_e, ξ_i) = Λ_e · κ_i(2/9)

를 얻는다.

이 표현에서는 C_e 같은 보조 상수를 독립 코어 상수로 둘 필요가 없다. 그런 항은 family 내부 구조를 직접 나타내는 양이 아니라 상위 정규화와 family 정규화 사이에 남는 residue로 해석하고, Λ_e 안으로 흡수한다. 따라서 charged-lepton family의 핵심 구조는 공통 scale Λ_e와 세대 readout κ_i(2/9)로 정리된다.

이 형식은 이 이론의 다른 구조와도 일관된다. 내부 게이지 문법은 SU(3)_C × SU(2)_L × U(1)_Y로 두고, 전하는 Q = T3 + Y/2로 읽는다. 약력은 단일 끈 내부 위상의 재배치 문법이고, 강력은 다중 끈 닫힘 구조의 문법이며, 시간의 방향성과 카이랄 정렬은 게이지 자유도라기보다 전역적 배경 조건으로 둔다. charged leptons는 SU(3)_C의 비자명한 닫힘 구조를 leading term으로 갖지 않기 때문에 질량식이 다중 링크 에너지보다 Higgs 코어항 E_H(P_e, ξ_i) 중심으로 정리된다.

이제 실제 값을 넣어 charged leptons를 계산하면 식의 뜻이 더 분명해진다. 전자, 뮤온, 타우의 질량을 각각

m_e = 0.51099895069 MeV
m_μ = 105.6583755 MeV
m_τ = 1776.86 MeV

로 둔다. 이 값들은 PDG 2024의 charged-lepton 질량 값이다.

family 공통 scale은

Λ_e = (m_e + m_μ + m_τ) / 6

로 두면

Λ_e = 313.838229075 MeV

가 된다.

그러면 세대별 readout은

κ_e = m_e / Λ_e
κ_μ = m_μ / Λ_e
κ_τ = m_τ / Λ_e

로 계산할 수 있고, 수치는

κ_e = 0.0016282240446
κ_μ = 0.3366650896
κ_τ = 5.6617066864

가 된다.

이 값을 다시

m_i = Λ_e · κ_i

에 넣으면

m_e = 313.838229075 × 0.0016282240446 = 0.51099895069 MeV
m_μ = 313.838229075 × 0.3366650896 = 105.6583755 MeV
m_τ = 313.838229075 × 5.6617066864 = 1776.86 MeV

가 되어 charged-lepton family가 다시 재구성된다. 이 계산에서 Λ_e는 family 전체의 공통 질량 scale이고, κ_i는 그 scale을 각 세대에 분배하는 readout이라는 점이 수식으로 드러난다.

Koide형 구조 파라미터도 같은 질량값으로 바로 확인할 수 있다. 위 질량들을 넣으면

K_e = (m_e + m_μ + m_τ) / (√m_e + √m_μ + √m_τ)^2 = 0.6666605 ≈ 2/3

이고,

K_e / 3 = 0.22222017 ≈ 2/9

가 된다. 따라서 κ_i(2/9)라는 표기는 단순한 형식적 표기가 아니라 charged-lepton family의 실제 수치 구조와 연결된 family-level parameter라는 뜻을 가진다.

정리하면 charged-lepton family는 공통 leptonic core P_e를 공유하고, 각 세대는 ξ_i라는 위상 좌표에서 읽힌다. family 전체의 질량 규모는 Λ_e가 정하고, 세대별 분할은 κ_i(2/9)가 담당한다. 따라서 charged-lepton sector의 Higgs 기원 질량식은

E_H(P_e, ξ_i) = Λ_e · κ_i(2/9)

로 정리된다.