안녕하세요.
현재 전자기학을 공부하고 있는 학생입니다.
전자기학을 공부하기위해서는 벡터를 이해해야한다고 해서 현재 벡터를 깊게 파고 있습니다.
벡터 계산은 할줄 압니다. 고등학교때 벡터의 내적을 배웠고 대학 수학 시간에도 외적을 배웠으니깐요.
그런데, 벡터의 내적과 외적을 왜 하는지 이유를 알고싶습니다.
벡터의 내적과 외적으로 구할수 있는것들이 무엇인지와
왜 내적과 외적을 하면 이러한 것들을 구할 수 있는지...
기본적인 개념을 이해하고 싶네요.
글 읽어주셔서 감사드립니다.
왜 벡터 내적,외적으로부터 전자기 현상을 기술할수 있냐고 물으면 자연이 그렇게 돌아가기 때문이라고 밖에 난 대답을 못하겠음. 전자기학에서 비오사바르 법칙 같은 건 실험적으로 얻어졌다고하는데 이때도 외적이 쓰이고, 벡터 칼큘러스가 쓰임. 또 좀 더 깊은 수학을 공부하다 보면 내적이라는 게 꼭 벡터내적만 있는 것도 아니고 일반화 시킬수도있고, 벡터의 내적이라는 건 그러한 것중 하나의 예로 운용되는 케이스라는 걸 알수가 있음
밑에 나보다 더 공부한 형들이 댓글 달아주겠지만 난 암튼 이렇게 생각함
좀더 정확히 하자면 벡터에 대한게 아니라 벡터 필드에 대한 오퍼레이션인데..
우선 내적과 외적이 그러한 연산으로 적용되는건 일종의 벡터필드에서의 정의중에서도 아주 특별한놈을 쓰고있는거임
근데 이놈들이 그냥 연산작용으로 끝나는게 아니라 가우스법칙이나 그린법칙같은걸로 서로 상호적인 어떠한 연관이 있는데, 사실 내외적을 쓰는 이유는 이것 때문임. 사실 물리에서 어떤 연산을 쓰는 이유는 그게 나중에 보면 되게 쉽게 쓰이기 때문임
사실 벡터간의 내외적 자체는 전자기학에서 자주 쓰이진 않는데, DEL 이라는 연산자와의 내 외적인 Div 라던가 Curl 같은경우는 거의 전자기학을 지배하고 있음. 예를들어 전자기학을 설명하는 멕스웰 방정식이라는 이름의 4가지 식은 모두 저 연산과 미분 정도로 이루어져 있음
그냥 외적도 편의적인 이유로 도입된 연산일 뿐이라는 거임?
ㄴ 애초에 수학 자체가 물리에서 편의를 위해 도입된게 아닌가
내적이란 고등학교 과정이나 대학교 과정에서는 두 벡터의 각도를 길이로 나눈 실수값임. 즉, 어떤 좌표계를 취하더라도, 그 내적 값은 동일함. 그렇게 내적을 불변하게 하는 변환은 3차원 회전변환이 됨(O(3) 그룹). 내적은 선형대수에서도 배우지만 쉽게, n차원으로 확장 가능함. 외적은 고등학교 대학교 과정에서는 두 벡터가 만들어 내는 평면의 넓이임. 넓이가 부호를 갖는 것은 공간의 방향성을 의미함. 사실 공간이 휘어져 있고, 방향성을 갖지 않을 때에는(클라인 병), 외적은 유일하게 정의가 되지 않음. 우주를 한바퀴 돌아오면 외적값이 뒤집혀 있음. 보통 대학원과정에서 휘어진 공간을 다루면서 벡터공간을 원점부터 다시 구성하면서 휘어진 n차원 공간에서의 외적과 내적을 다시 배우게 되므로
차근차근 공부할 것. (취미삼아 유클리드 2차원, 4차원 공간에서 외적의 정의는 한 번 고민해 볼 것.)