images?q=tbn:ANd9GcTgNmXVbaPwXzdZm2pRirVcbt-VQpqHDdhFbJaPzro9Xh9tvtJ9gQ   images?q=tbn:ANd9GcRMGtOBS91NayJHf43auTO3PCGwOm8iI5GGilimdBZ7CITO-yx45wimages?q=tbn:ANd9GcT7hkA9JCbE5nUgE-2IvV46cfS6iI-BppIRNNXjOOtmA_wwcO9htw

(짤방은 참고 서적들)

일전에 fermion의 second quantization에 대해 글을 썼는데( http://gall.dcinside.com/list.php?id=physicalscience&no=31510&page=3&bbs=), Maxwell형과 댓글로 이야기를 하다 보니, 아무래도 글의 논리 전개가 마음에 들지 않아서 다시 정리해 보았음. 재정리하는 김에 second quantization 전체를 다룸.


- 유의할 점:

여기서 말하는 second quantization은 many-body theory에서 주로 사용하는 접근법으로, 입자물리 쪽의 장론 책에서 보통 선호하는 field quantization과는 논지가 정확히 반대임. 즉, single-particle에서 시작해서, identical particle(boson 또는 fermion)이라는 전제 하에, creation/annihilation operator를 적절히 정의하면 many-body 문제에서 operator와 state의 표현이 매우 간단해진다는 것을 보일 것임.


1. Intro.

양자역학에서 널리 쓰이는 Dirac notation을 이용하면, Hilbert space gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\mathcal{H} 에 작용하는 임의의 operator gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat{T} 를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

gif.latex?\\\\hat{T} = \\\\sum_{r,s} T_{rs} |r\\\\rangle\\\\langle s|

여기서 gif.latex?\\\\small \\\\inline |r\\\\rangle, gif.latex?\\\\small \\\\inline |s\\\\rangle는  gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\mathcal{H}의 특정 orthonormal basis gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\mathfrak{B}를 이루는 state들이다. ( gif.latex?\\\\small \\\\inline |r\\\\rangle,|s\\\\rangle \\\\in \\\\mathfrak{B})

만약 gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\mathcal{H}가 단일 입자의 Hilbert space이면, gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat{T}는 1-particle operator라고 부른다(ex: 운동에너지).  N개의 identical particle이 있는 경우에는, 각 입자에 작용하는 gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat{T}가 따로 존재하고(ex: 각 입자의 운동에너지), 이들을 모두 더한 것을(ex: 총 운동에너지) 고려해야 한다.

gif.latex?\\\\hat{T}_{i} = \\\\sum_{r,s}T_{rs} |r\\\\rangle\\\\langle s|_{i}  (i번째 입자의 Hilbert space에 작용하는 operator)

gif.latex?\\\\hat{T}^{(N)}\\\\equiv\\\\sum_{i=1}^{N}\\\\hat{T}_{i} = \\\\sum_{r,s}T_{rs} \\\\left( \\\\sum_{i=1}^{N}|r\\\\rangle\\\\langle s|_{i}\\\\right )\\\\right )  (총 합)


어떤 1-particle operator이든  gif.latex?\\\\small \\\\inline |r\\\\rangle\\\\langle s| 들의 선형결합으로 나타낼 수 있기 때문에, 특정 gif.latex?\\\\small \\\\inline |r\\\\rangle \\\\langle s| 의 성질을 조사함으로써 실질적으로 임의의 1-particle operator를 다룰 수 있다. System이 N개의 identical particle로 이루어져 있는 경우, 각 입자마다 작용하는 gif.latex?\\\\small \\\\inline |r\\\\rangle \\\\langle s|들을 합쳐 아래와 같은 operator를 생각할 수 있는데, 이것을 곧 N-particle system에서 1-particle operator의 building block이라 할 수 있다.

gif.latex?\\\\hat{O}_{rs}^{(N)} \\\\equiv\\\\sum_{i=1}^{N} |r\\\\rangle\\\\langle s|_{i} = \\\\sum_{i=1}^{N} |r\\\\rangle\\\\langle s|_{i} \\\\otimes\\\\bigotimes_{\\\\substack{j=1\\\\\\\\j\\\\neq i}}^{N} \\\\textbf{1}_{j}       ....(1)

(위에서 gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat{O}_{rs}^{(N)}의 두 가지 표현 방식은 같은 의미로, i번째 입자에 gif.latex?\\\\small \\\\inline |r\\\\rangle\\\\langle s |_{i} 가 작용할 때 그 외의 입자에는 identity가 작용한다. 후자에서는 identity를 명시하였고, 전자에서는 명시하지 않았지만 identity가 암묵적으로 존재한다.) 

이제까지와 비슷하게 다음과 같은 2-particle operator도(상호작용) 생각할 수 있다.

gif.latex?\\\\hat{V} = \\\\sum_{r,r^{\\\\prime},s,s^{\\\\prime}} V_{r,r^{\\\\prime};s,s^{\\\\prime}} |r,r^{\\\\prime}\\\\rangle\\\\langle s,s^{\\\\prime}|

i와 j번째 입자가(gif.latex?\\\\small \\\\inline i\\\\neq j) 이루는 쌍에 작용하는 operator는 (정확히는 두 입자의 Hilbert space들의 direct product space에 작용함)

gif.latex?\\\\hat{V}_{ij} = \\\\sum_{r,r^{\\\\prime},s,s^{\\\\prime}} V_{r,r^{\\\\prime};s,s^{\\\\prime}} |r,r^{\\\\prime}\\\\rangle\\\\langle s,s^{\\\\prime}|_{ij} = \\\\sum_{r,r^{\\\\prime},s,s^{\\\\prime}} V_{r,r^{\\\\prime};s,s^{\\\\prime}} \\\\,|r\\\\rangle\\\\langle s|_{i}\\\\!\\\\otimes\\\\!|r^{\\\\prime}\\\\rangle\\\\langle s^{\\\\prime}|_{j}

으로 주어지며, gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat_{V}_{ij}를 모든 입자 쌍에 대해 더해 줌으로써, 아래와 같이 N-particle system에 작용하는 2-particle operator를 얻는다.

gif.latex?\\\\hat{V}^{(N)} = \\\\frac{1}{2}\\\\sum_{\\\\substack{i,j=1\\\\\\\\i \\\\neq j}}^{N}\\\\hat{V}_{ij} = \\\\frac{1}{2} \\\\sum_{r,r^{\\\\prime},s,s^{\\\\prime}}V_{r,r^{\\\\prime};s,s^{\\\\prime}}\\\\!\\\\left(\\\\!\\\\sum_{\\\\substack{i,j=1\\\\\\\\i \\\\neq j}}^{N} |r\\\\rangle\\\\langle s|_{i}\\\\!\\\\otimes\\\\!|r^{\\\\prime}\\\\rangle\\\\langle s^{\\\\prime}|_{j} \\\\right )
(Double counting 때문에 1/2이 붙음)

아까의 경우와 비슷하게, 우리는 다음과 같은 2-particle operator의 building block을 찾을 수 있다.

gif.latex?\\\\hat{O}_{r,r^{\\\\prime};s,s^{\\\\prime}}^{(N)} \\\\equiv\\\\sum_{\\\\substack{i,j=1\\\\\\\\i\\\\neq j}}^{N} |r\\\\rangle\\\\langle s|_{i} \\\\!\\\\otimes\\\\! |r^{\\\\prime}\\\\rangle\\\\langle s^{\\\\prime}|_{j} = \\\\sum_{\\\\substack{i,j=1\\\\\\\\i\\\\neq j}}^{N} |r\\\\rangle\\\\langle s|_{i} \\\\!\\\\otimes\\\\! |r^{\\\\prime}\\\\rangle\\\\langle s^{\\\\prime}|_{j} \\\\otimes\\\\bigotimes_{\\\\substack{k=1\\\\\\\\k\\\\neq i,j}}^{N} \\\\textbf{1}_{k}     ..... (2)

여기에 직접 쓰지는 않겠지만, 비슷한 방식으로 3-particle, 4-particle operator 등도 생각해 볼 수 있을 것이다.

이제 위에서 소위 building block이라고 불렀던 operator들을 다시 살펴 보자.

gif.latex?\\\\hat{O}_{rs}^{(N)} = \\\\sum_{i=1}^{N} |r\\\\rangle\\\\langle s|_{i} \\\\otimes\\\\bigotimes_{\\\\substack{j=1\\\\\\\\j\\\\neq i}}^{N} \\\\textbf{1}_{j}      ......(1)
gif.latex?\\\\hat{O}_{r,r^{\\\\prime};s,s^{\\\\prime}}^{(N)} = \\\\sum_{\\\\substack{i,j=1\\\\\\\\i\\\\neq j}}^{N} |r\\\\rangle\\\\langle s|_{i} \\\\!\\\\otimes\\\\! |r^{\\\\prime}\\\\rangle\\\\langle s^{\\\\prime}|_{j} \\\\otimes\\\\bigotimes_{\\\\substack{k=1\\\\\\\\k\\\\neq i,j}}^{N} \\\\textbf{1}_{k}   ..... (2)

여기서 gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat{O}_{rs}^{(N)}는 기본적으로 N-particle state를 구성하는 single-particle state 중에  gif.latex?\\\\small \\\\inline |s\\\\rangle 가 존재할 경우 이 중 하나를  gif.latex?\\\\small \\\\inline |r\\\\rangle 로 바꾸는 operator이며, 비슷하게 gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat{O}_{r,r^{\\\\prime};s,s^{\\\\prime}}^{(N)}는 gif.latex?\\\\small \\\\inline |s\\\\rangle를  gif.latex?\\\\small \\\\inline |r\\\\rangle,  gif.latex?\\\\small \\\\inline |s^{\\\\prime}\\\\rangle를 gif.latex?\\\\small \\\\inline |r^{\\\\prime}\\\\rangle로 바꾸는 역할을 한다. 여기서  gif.latex?\\\\small \\\\inline |s\\\\rangle를  gif.latex?\\\\small \\\\inline |r\\\\rangle로 바꾸는 것을 다르게 해석하면, gif.latex?\\\\small \\\\inline |s\\\\rangle 하나를 없애고(annihilation)  gif.latex?\\\\small \\\\inline |r\\\\rangle 하나를 만든다고도(creation) 이야기할 수 있을 것이다.

이 관점에 입각하면, 실제로 어떤 single-particle state 하나를 만들거나 없애는 operator, 즉 creation 및 annihilation operator를 생각해 볼 수 있다. 이들을 어떻게 정의할지를 고민하기에 앞서,  gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat{O}_{rs}^{(N)},  gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat{O}_{r,r^{\\\\prime};s,s^{\\\\prime}}^{(N)} 등이 특정 양자상태에 어떻게 작용하는지를 조사할 필요가 있는데, 양자상태가 입자들의 교환에 대해 symmetric 또는 antisymmetric한지에 따라 (즉, 우리가 다루는 identical particle이 boson이냐 fermion이냐에 따라) 양상이 달라진다.

따라서 우리는 boson과 fermion의 경우를 나누어 gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat{O}_{rs}^{(N)},  gif.latex?\\\\small \\\\inline \\\\hat{O}_{r,r^{\\\\prime};s,s^{\\\\prime}}^{(N)} 등이 특정 N-particle state에 어떻게 작용하는지 알아 보고, 이를 통해 각각의 경우에 creation/annihilation operator들을 어떻게 정의하면 좋을지 실마리를 얻을 것이다. 여기서 creation/annihilation operator는 입자의 개수를 바꾸기 때문에, 이들이 작용하는 vector space는 특정 입자 개수에 해당하는 Hilbert space가 아니고, 모든 가능한 입자 개수를 포괄하는 space가 될 것인데, 이를 Fock space라 부르며, 여기에 대한 논의가 이루어질 것이다. 또한, 입자의 개수 N에 상관 없이 Hilbert space에 작용하는 1-particle operator, 2-particle operator 및 이들이 작용하는 양자상태를 creation/annihilation operator들을 이용하여 간단히 표현할 수 있음을 보일 것이다.


이어지는 글들: