Second quantization 다시 정리- 2. Bosons

[higgsss(colorneutral)]

앞 글: Second quantization 다시 정리- 1. Intro

2. Bosons

(1) N-boson basis state

위에서와 마찬가지로 single-particle Hilbert space 의 어떤 orthonormal basis 를 생각하자. 에 속하는 single-particle state들을 조합하여 아래와 같은 N-boson state를 만들 수 있으며, 이들의 선형결합으로 임의의 N-boson state를 표현할 수 있다. (즉, 아래의 state는 N-boson Hilbert space의 basis state.)

 ......... (3)

여기서   이며, 이들 중 중복되는 것이 있을 수 있다. 위 식에서 우변의 계수에 등장하는 아래첨자  는 를 구성하는 single-particle state들을 구분하는 index이며,  는 해당 state에 있는 입자 개수를 나타낸다. 는 괄호 안을 symmetrize하였다는 의미로, 다음과 같이 정의된다.

는 permutation을 나타내며, 은  의  가지 permutation 중 하나이다.  Symmetrization에 의해 총  개의 항이 생기지만, 일반적으로 이들 사이에는 중복되는 것들이 있다. 같은 single-particle state가 여러 번 등장할 경우, 이들 안에서는 교환을 해도 같은 항이 나오기 때문이다. 결국 symmetrization에 의해 생성되는 항들 중 서로 독립적인 항의 수는  이며(이들은 또한 서로 직교함), 같은 항이  번 중복으로 등장하게 된다. 즉, 식 (3)에서 우변의 계수는, 같은 항이 중복된 개수만큼 나누어 주는 와  개의 서로 직교하는 항에 대한 normalization factor인  이 곱해진 결과이다.

또한, boson이기 때문에 두 입자를 교환해도 양자상태가 변하지 않음에 유의하자.

(2) 1-particle operator의 작용 및 creation/annihilation operator의 정의.

이제   에  1-particle operator의 building block인 가 어떻게 작용하는지 생각해보자.  중에 와 일치하는것이 단 하나도 없다면, 단순히  이다. 이제  중 와 일치하는 것이  개 있고, 동시에 과 일치하는 것이 개 있는 경우를 생각해 보자. 단, 여기서는 수식 전개 상의 편의를 위해  중에서 은 끼리 인접해 있고 는 끼리 인접해 있는 상황을 생각하겠다. (이렇지 않은 경우 적절히 들을 재정렬해서 우리가 원하는 상황을 만들수 있으므로 보편성을 잃지 않는다)

 .................................................(4)

이 결과로부터, 아래와 같이 annihilation operator와 그 adjoint에 해당하는 creation operator를 정의하는 것이 유용할 것임을 추측할 수 있다.

......... (5-1)

......... (5-2)

또는

 .........(6-1)

 .........(6-2)

여기서  는 creation/annihilation operator가 가해지는 양자상태에 포함되어 있는 single-particle state  의 개수를 의미한다.

위에서 creation/annihilation operator를 정의한 데에는 한 가지 미흡한 부분이 있는데, 바로 single-particle state에 annihilation operator를 가하면 무엇이 나오는지 결정하지 않았다는 점이다. 이를 정하기 위해서는 입자가 하나도 없는 상황에 해당하는 양자상태를 생각할 필요가 있으며, 이것을 vacuum state라고 부르고 보통  으로 표시한다. 이때, single-particle state에 대한 annihilation operator의 작용을 다음과 같이 정의한다.

...............(7-1)

이것의 adjoint는 다음과 같다.

................(7-2)

추가로, vacuum state에 annihilation operator를 가하면 0을 얻는다.

.......................(7-3)

이때 식 (5-1)~(7-3)로부터 다음이 성립함을 보일 수 있다. 가 number operator가 됨에 주목하자.

..........(8-1)

......(8-2)

지금까지의 정의에 따르면 , 는 다음의 commutation relation을 만족한다.

 ..............(9-1)

 ............... (9-2)

이때, 식 (4)와 (5-1) 및 (5-2)를 비교하면, 임의의 에 대해 다음이 성립함을 알 수 있다.

 .............(10)

위 식은 매우 중요한 의의를 가지는데, 이는 곧 임의의 에 대해   이  1-particle operator의 building block과 동등함을 의미하기 때문이다.

(3) 2-particle operator의 표현

그렇다면 2-particle operator 역시 creation/annihilation operator의 특정 조합과 동등할까? 이 질문에 대한 답을 구하기 위해 식 (4)에서와 비슷하게 building block인  을 특정 양자상태에 가해 볼 수도 있지만, 우선 이를 다음과 같이 1-particle operator의 building block들로 나타내는 것이 더 편리하다.

............(11)

(두 번째 줄에서 세 번째 줄로 넘어갈 때, 원래는 summation에 없었던 i=j 항을 더해서 i와 j에 대한 full summation으로 만든 뒤 이를 바로 뒤에서 도로빼 주었다.)

이에 따라 다음이 성립한다.

.............(12)

(마지막 줄에서 와 의 위치를 굳이 바꿔 쓴 것은, 당장은 불필요한 일이지만 나중에 다룰 fermion의 경우와 유사한 형태를 만들기 위함이다.)

이로써 우리는 2-particle operator의 building block 역시 creation 및 annihilation operator의 특정 조합과 동등함을 보였다. 상응하는 과정을 통해, 3-particle, 4-particle operator 등에 대해서도 비슷한 식이 만족됨을 보일 수 있다. 예를 들어,

.

(4) Change of basis

이제까지 creation/annihilation operator들은 single-particle Hilbert space 의 특정 orthonormal basis 를 기준으로 정의되었다. 즉, 은   에 대한 annihilation operator인 것이다. 한편, 또 다른 orthonormal basis 를 기준으로 creation/annihilation operator를 정의할 수도 있을 것이다. 예를 들어 에 대한 annihilation operator인 를 생각할 수 있을 것인데, 그렇다면 과  사이의 변환 관계는 어떻게 될까? 이를 유추하는 가장 간단한 방법은 다음과 같이 single-particle state 간의 basis 변환에서 시작하는 것이다.

.....................(13)

(둘째 줄에서 셋째 줄로 넘어갈 때, 양변의 adjoint를 취하였음.)

여기서  이고  임에 유의하자. 위의 유도과정은 결과만 보면 맞으나, 올바른 증명이 아니라 "쉽게 기억하는 방법"에 해당하며, ?로 표시한 단계가 제대로 정당화되지 않았다. Operator 사이의 관계식이 성립함을 증명하려면, 모든 가능한 state에 대해서 해당 관계식이 성립함을 보여야 하는데, 위에서는 오직 vacuum state에 대해서만 확인하였기 때문이다. Vacuum state 외의 경우에도 이것이 성립함은 다음과 같이 증명할 수 있다.

이어지는 글들:

Second quantization 다시 정리- 2. Bosons(2)

Second quantization 다시 정리- 3. Fermions