앞 글들:

(5) Fock space 및 operator의 표현

지금까지 이루어진 논의를 돌이켜 보면, 그 출발점은 입자의 개수가 특정 N으로 고정된 상황이었다. 그러나 우리가 정의한 creation/annihilation operator는 단순히 N-particle Hilbert space를 자기 자신으로 보내는 operator가 아니라, (N+1) 또는 (N-1)-particle Hilbert space와 연결지어주며, 그것도 임의의 N에 대해서 이러한 일을 하고 있다. 따라서 creation 및 annihilation operator가 작용하는 전체 space는 임의의 입자 개수를 전부 포괄하는 확장된 Hilbert space이며, 이를 Fock space라고 부른다. 여기서는 Fock space의 수학적인 의미, 특히 single-particle Hilbert space에서 출발해서 어떻게 Fock space를 정의할 수 있는지 보다 자세히 알아보고자 한다.

우선 single-particle Hilbert space gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{H}에 대해, 이것을 N번 tensor product를 취하여 N-particle Hilbert space를 만들 수 있다.

gif.latex?\\\\\\mathcal{H}^{(N)} \\equiv \\mathcal{H} \\otimes\\mathcal{H}\\otimes\\cdots\\otimes\\mathcal{H}\\\\ \\indent\\quad\\qquad{}^{(N \\ \\textmd{times})}

여기서는 boson을 다루고 있기 때문에, gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{H}^{(N)}에 속하는 state 중 입자의 교환에 대해 symmetric한 것들로 구성된 subspace, 즉 N-boson Hilbert space를 고려하여야 하며, 이를 gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{B}^{(N)}으로 표시한다. (gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{B}^{(N)} \\subset \\mathcal{H}^{(N)}, N>0.)  이때 gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{H}^{(N)}에서 gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{B}^{(N)}으로의 projection operator gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}를 생각할 수 있다. 추가로, vacuum state(gif.latex?\\small \\inline |0\\rangle) 단 하나만을 포함하는 1차원 Hilbert space를 gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{B}^{(0)} 로 정의한다. Fock space는 N-boson Hilbert space들의 모든 N에 대한 direct sum으로 주어진다.

gif.latex?\\mathcal{B} \\equiv \\mathcal{B}^{(0)}\\, \\oplus\\, \\mathcal{B}^{(1)} \\,\\oplus \\,\\mathcal{B}^{(2)} \\,\\oplus\\, \\cdots = \\bigoplus_{N=0}^{\\infty} \\mathcal{B}^{(N)}  (Boson의 Fock space).

한편, 우리는 앞서 1-particle, 2-particle operator 등의 building block이 creation/annihilation operator들의 특정 조합에 대응됨을 확인한 바 있는데, 이에 대해 "동등하다"고만 하였고 등호를 사용하여 수학적으로 같다고 하지는 않았었다. 이것은 바로 Fock space에 대한 논의가 먼저 필요했기 때문이다. gif.latex?\\small \\inline a_{r}^{\\dagger}a_{s}는 원래 boson의 Fock space gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{B}에 작용하는 operator이다. 그런데 식 (10)에 따르면, 임의의 입자 개수 N에 대해(N>0), gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{B}^{(N)}에서  gif.latex?\\small \\inline a_{r}^{\\dagger}a_{s}와  gif.latex?\\small \\inline \\hat{O}_{rs}^{(N)}의 작용은 정확히 같다. 또한, N=0일 때, gif.latex?\\small \\inline a_{r}^{\\dagger}a_{s}는 0과 동등하다. 한편, gif.latex?\\small \\inline \\hat{O}_{rs}^{(N)}는 gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{H}^{(N)}에 작용하는 operator로, gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{B}^{(N)}에 작용하는 부분만을 생각하면 gif.latex?\\small \\inline \\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}\\hat{O}_{rs}^{(N)}\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}이 된다. 이를 종합하면 아래와 같다.

gif.latex?a_{r}^{\\dagger}a_{s} = \\bigoplus_{N=1}^{\\infty} \\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}\\hat{O}_{rs}^{(N)}\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)} =\\bigoplus_{N=1}^{\\infty}\\, \\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}\\!\\left[\\sum_{i=1}^{N}|r\\rangle\\langle s|_{i}\\otimes\\bigotimes_{\\substack{j=1\\\\j\\neq i}}^{N} \\textbf{1}_{j} \\right ]\\!\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}=\\bigoplus_{N=1}^{\\infty}\\, \\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}\\!\\left[\\sum_{i=1}^{N}|r\\rangle\\langle s|_{i} \\right ]\\!\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}.........(14-1)

비슷하게 2-particle operator에 대해서는 다음이 성립하며, 3-particle 이상으로 확장하는 것도 자명하다.

gif.latex?\\\\a_{r}^{\\dagger}a_{r^{\\prime}}^{\\dagger}a_{s^{\\prime}}a_{s} = \\bigoplus_{N=2}^{\\infty} \\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}\\hat{O}_{r,r^{\\prime};s,s^{\\prime}}^{(N)}\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)} \\\\=\\bigoplus_{N=2}^{\\infty}\\, \\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}\\!\\left[\\sum_{\\substack{i,j=1\\\\i\\neq j}}^{N}|r\\rangle\\langle s|_{i}\\otimes|r^{\\prime}\\rangle\\langle s^{\\prime}|_{j}\\otimes\\bigotimes_{\\substack{k=1\\\\k\\neq i,j}}^{N} \\textbf{1}_{k} \\right ]\\!\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)} =\\bigoplus_{N=2}^{\\infty}\\, \\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}\\!\\left[\\sum_{\\substack{i,j=1\\\\i\\neq j}}^{N}|r,r^{\\prime}\\rangle\\langle s,s^{\\prime}|_{ij} \\right ]\\!\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}...........(14-2)

이 글의 제일 첫 부분을 상기해 보자. 어떤 1-particle operator gif.latex?\\small \\inline \\hat{T}=\\sum_{rs}T_{rs}|r\\rangle\\langle s| 가 있을 때, 우리는 여기서부터 다음과 같은 것들을 이끌어내었었다.

gif.latex?\\hat{T}_{i}=\\sum_{rs}T_{rs}|r\\rangle\\langle s|_{i} (i번째 입자에 대한 작용)
gif.latex?\\hat{T}^{(N)}=\\sum_{i=1}^{N}\\hat{T}_{i}=\\sum_{i=1}^{N}\\sum_{rs}T_{rs}|r\\rangle\\langle s|_{i} (N개의 입자가 있을 때, 전체 계에서의 작용)

여기에 추가해서, 다음과 같은 operator를 생각할 수 있다.
gif.latex?\\hat{T}_{\\textmd{Fock}} = \\bigoplus_{N=1}^{\\infty}\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}\\hat{T}^{(N)}\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}= \\sum_{rs}T_{rs}\\, a_{r}^{\\dagger}a_{s} (Fock space representation)

여기서 gif.latex?\\small \\inline \\hat{T}_{\\textmd{Fock}}은 임의의 입자 개수가 있는 상황을 포괄해서 정의하였기 때문에, 입자 개수에 구애받지 않고 gif.latex?\\small \\inline \\hat{T}^{(N)} 대신 사용할 수 있다. 비슷하게 gif.latex?\\small \\inline \\hat{V} = \\sum_{r,r^{\\prime},s,s^{\\prime}} V_{r,r^{\\prime};s,s^{\\prime}}|r,r^{\\prime}\\rangle\\langle s,s^{\\prime}| 라는 2-particle operator에 대해, N개의 입자가 있는 상황에서는 아래와 같은 operator가 정의된다.

gif.latex?\\hat{V}^{(N)} = \\frac{1}{2}\\sum_{\\substack{i,j=1\\\\i\\neq j}}^{N}\\sum_{r,r^{\\prime},s,s^{\\prime}} V_{r,r^{\\prime};s,s^{\\prime}} |r,r^{\\prime}\\rangle\\langle s,s^{\\prime}|_{ij}

역시 아래와 같은 Fock space representation을 사용하는 것이 편리하다.

gif.latex?\\hat{V}_{\\textmd{Fock}}=\\bigoplus_{N=2}^{\\infty}\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)}\\hat{V}^{(N)}\\mathcal{P}_{\\mathcal{B}}^{(N)} = \\frac{1}{2}\\sum_{r,r^{\\prime},s,s^{\\prime}} V_{r,r^{\\prime};s,s^{\\prime}} \\,a_{r}^{\\dagger}a_{r^{\\prime}}^{\\dagger}a_{s^{\\prime}}a_{s}



(6) Creation operator를 이용한 state의 표현, occupation number representation

지금까지는 N-boson state를, single-particle state N개를 조합하고 symmetrize한 형태로 표현하였다. [식 (3) 참조.]  한편, 같은 state를 vacuum state에서 creation operator를 이용하여 만들어 나가는 방식으로 나타낼 수도 있다. 식 (6-2)에 따르면 다음이 만족되기 때문이다.

gif.latex?\\mathcal{S}\\Big(|s_{1}\\rangle\\otimes|s_{2}\\rangle\\otimes\\cdots\\otimes|s_{N}\\rangle\\Big) = \\sqrt{N!}\\,\\,a_{s_{1}}^{\\dagger}a_{s_{2}}^{\\dagger}\\ldots a_{s_{N}}^{\\dagger}|0\\rangle

이에 따라,
gif.latex?\\\\|s_{1},s_{2},\\ldots,s_{N}\\rangle_{B}^{(N)}\\\\=\\frac{1}{\\sqrt{N!\\prod_{m}\\!n_{m}!}}\\,\\mathcal{S}\\Big(|s_{1}\\rangle\\otimes|s_{2}\\rangle\\otimes\\cdots\\otimes|s_{N}\\rangle\\Big)\\\\=\\frac{1}{\\sqrt{\\prod_{m}\\!n_{m}!}}a_{s_{1}}^{\\dagger}a_{s_{2}}^{\\dagger}\\ldots a_{s_{N}}^{\\dagger}|0\\rangle\\\\=\\prod_{m}\\frac{(a_{m}^{\\dagger})^{n_{m}}}{\\sqrt{n_{m}!}}|0\\rangle\\\\\\\\ \\equiv |n_{1},n_{2},n_{3},\\ldots\\rangle.......................(15)

마지막 줄에서, 우리는 소위 occupation number representation을 정의하였다. 즉, N개의 입자가 있을 때, 각각의 single-particle state를 나열하는
기존의 방식 대신, single-particle state들을 1, 2, 3, ......으로 표시할 때, 이들 각각의 occupation이 gif.latex?\\small \\inline n_{1},n_{2},n_{3},\\ldots 이 됨을 명시하는 방법이다. (gif.latex?\\small \\inline \\sum_{m} \\!n_{m} =N.)


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