앞 글들:
3. Fermions
모든 과정이 기본적으로 앞에서 다룬 boson의 경우와 유사하다. 단, boson에서는 하나의 single-particle state가 몇 번 나타나는지를 세는 것이 중요했지만, fermion의 경우 siingle-particle state가 최대 1번만 출현하므로 이것은 별 문제가 되지 않는다. 여기서 우리가 조심해야 할 부분은, 입자 교환에 대한 antisymmetry에서 비롯되는 (-) 부호이다.
(1) N-fermion basis state
앞서와 마찬가지로, single particle Hilbert space 
와 그 basis 
를 생각하고, 에 속하는 single-particle state들을 조합하여 아래와 N-fermion basis state를 만들어 보자.
여기서 boson의 경우와는 달리 
들은 서로 중복되지 않는다. &board=physicalscience&pid=31749)
는 antisymmetrization을 의미하는데, 다음과 같이 정의된다.
Fermion이기 때문에 두 입자를 교환하면 양자상태에 (-) 부호가 붙는다.
(2) Operator의 작용 및 creation/annihilation operator의 정의
여기서 한 가지 주의할 점이 있는데, 기존의 
중에 
과 일치하는 것이 있는 경우 아래와 같이 0이 나온다는 점이다.
(두 
의 교환에 대해 대칭이므로, 이것을 antisymmetrize하면 0)
이제 아래와 같이 creation operator를 정의해보자.
기존의 양자상태에 
가 존재하지 않는 경우, 
를 가하면 단순히 0을 얻는다.
또한, 식 (18-1) 및 (18-2)와 동등하게, 다음이 성립한다.
우리는 가 미리 존재하지 않는 양자상태에 를 가한 경우와 가 이미 존재하는 상황에서 
를 가한 경우 모두 0을 얻음을 확인하였다. 이것은 또는 를 두 번 가하면 무조건 0이 됨을 의미한다. 즉, 다음이 만족된다.
식 (18-1)~(19-2)에서 한 가지 유의할 점은, 우리가 굳이 를 순서 상 제일 앞쪽에 놓았다는 것이다. 가 첫번째가 아닌 i번째에 놓여 있으면 어떻게 될까? 앞에서부터 인접한 것끼리 i-1차례 교환함으로써 를 첫번째에서 i번째 위치로 옮길 수 있기 때문에, 우선 다음이 성립한다.
이로부터 아래와 같은 결론을 얻는다.
마지막으로, boson의 경우와 마찬가지로 vacuum state 
를 생각할 수 있고, 과 관련된 creation/annihilation operator의 작용은 다음과 같이 정의된다.
식 (18-1)~(20-3)을 이용하면 다음을 보일 수 있다.
Boson의 경우와 유사하게 
는 number operator의 역할을 한다. 또한 여기서 
가 가질 수 있는 값은 0 또는 1 뿐임을 잊지 말자.
여기서 정의한 fermion creation/annihilation operator의 가장 큰 특징은 boson의 경우와는 달리 anticommutation relation을 만족한다는 것이다. 예를 들어,
지금까지의 결과를 종합하면, 다음과 같은 anticommutation relation을 적을 수 있다.
또한 식 (17)과 (18-1-1) 및 (18-2-2)를 비교하면, 
가 1-particle operator의 building block과 같은 작용을 함을 알 수 있다.
2-particle operator에 대해서도 비슷한 관계식을 구하기 위해 식 (11)을 다시 들여다 보자.
위 식은 boson이냐 fermion이냐에 상관없이 성립하며, 이로부터 아래와 같은 결과가 유도된다.
3-particle 이상의 경우에도 상응하는 관계가 성립함을 보일 수 있다.
(3) Change of basis
1-(4)에서 다룬 boson의 경우와 모든 중간과정이 동일하며, 단지 creation/annihilation operator를 fermion의 그것으로 바꾸고, &board=physicalscience&pid=31749)
대신 &board=physicalscience&pid=31749)
를 사용하기만 하면 된다. 즉, single-particle Hilbert space 에 대해, 의 두 서로 다른 orthonormal basis 
와 
를 기준으로 정의된 두 벌의 fermion creation/annihilation operator들이 있을 때, 이들 사이의 변환 관계는 다음과 같다.
(
, 
)
(4) Fock space
Fock space 역시 boson의 경우와 유사하다. 단, 이 경우에는 N-particle Hilbert space %257D&board=physicalscience&pid=31749)
에 속하는 state들 중 입자의 교환에 대해 antisymmetric한 것들로 이루어진 subspace %257D&board=physicalscience&pid=31749)
을 고려하여야 한다. (N>0.) 이때 에서 으로의 projection operator %257D&board=physicalscience&pid=31749)
을 생각한다. (%257D%3D%255C%255C%255C%255Cmathcal%257BP%257D_%257B%255C%255C%255C%255Cmathcal%257BF%257D%257D%255E%257B(N)%257D%255C%255C%255C%255Cmathcal%257BH%257D%255E%257B(N)%257D&board=physicalscience&pid=31749)
.) %257D&board=physicalscience&pid=31749)
는 앞서와 마찬가지로 vacuum state만으로 이루어진 1차원 vector space이다. 이제 fermion의 Fock space는 다음과 같이 정의된다.
이때 1-particle 및 2-particle operator들은 다음과 같은 Fock space representation을 가진다.
(3-particle 이상은 역시 생략.)
(5) State의 표현
식 (19-1)을 이용하여 vacuum state에서 하나씩 입자의 수를 늘려 나가 보면, 다음이 만족됨을 알 수 있다.
따라서 다음이 성립한다.
위 식을 바탕으로 occupation number representation을 정의할 수 있다. Boson의 경우와 마찬가지로, single-particle state들을 1, 2, 3, ....으로 표시하고, 이들의 occupation이 
일 때(fermion이라서 각각의 occupation은 0 또는 1의 값만을 가짐에 유의), 이를 
으로 나타내는 것이다. 단, fermion의 creation operator들은 작용 순서에 따라 부호가 달라지기 때문에 문제가 발생한다. 에서부터 를 만들려면 
인 모든 
에 대한 
를 가해 주어야 하는데, 이들을 특정한 순서로 에 작용시킨 것이 것이 
중 어느 쪽인지 정해 줄 필요가 있다. 가장 자연스러운 정의는 들의 배열이 왼쪽에서부터 에 대한 오름차순(와 순서가 일치)이 되는 것을 
로 정의하는 것이다. 예를 들어 다음과 같다.
한편, 위의 양자상태에 
를 가하는 경우를 생각해 보자.
두 번째 줄에서 세 번째 줄로 넘어가면서 붙은 %255E%257B2%257D&board=physicalscience&pid=31749)
는, 오름차순으로 정렬하기 위해 의 위치를 두 칸 오른쪽으로 옮기면서 생겼다. 같은 이유로 임의의 경우에는 다음이 성립한다.
또한 위 식의 adjoint를 취하면 다음과 같다.
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