images?q=tbn:ANd9GcQbCtG9KgvVqhKgCjyI9OldV92lSE8uzGeogg2Fg7R524yJU_LVsg


물리 공부를 하다가 보통 그린함수를 제일 처음 접하는 것은 고전역학에서 강제진동을 배우면서이다. 즉, 진동자의 위치 gif.latex?\\small%20\\inline%20x(t)가 만족하는 다음과 같은 미분방정식을 풀고자 하는 상황이다.

gif.latex?\\left(\\frac{d^{2}}{dt^{2}}%20+%202\\gamma%20\\frac{d}{dt}%20+%20\\omega_{0}^{2}\\right)%20x(t)%20=%20\\frac{F(t)}{m}  ........ (1)

여기서 m를 source라고 부른다. 이렇게 source가 있는 미분방정식을 푸는 방법에는 몇 가지가 있는데, 그 중 가장 단순무식(brute force)하면서도  m의 구체적인 형태와 상관 없이 쓸 수 있는 방법은 아래와 같이 정의되는 그린함수를 이용하는 것이다.

gif.latex?\\left(\\frac{d^{2}}{dt^{2}}%20+%202\\gamma%20\\frac{d}{dt}%20+%20\\omega_{0}^{2}\\right)%20G(t;t^{\\prime})%20=%20\\delta(t-t^{\\prime})   .........(2)

위의 양 변에 m을 곱해서 gif.latex?\\small%20\\inline%20t^{\\prime}에 대해 적분하면,  gif.latex?\\small%20\\inline%20t_{0}%3Ct%3Ct_{1}인 경우에 대해 다음과 같은 특수해를 찾을 수 있다.

gif.latex?x_{p}(t)\\equiv\\int_{t_{0}}^{t_{1}}%20dt^{\\prime}%20G(t;t^{\\prime})\\frac{F(t^{\\prime})}{m}  ................(3)      (필요에 따라  gif.latex?\\small%20t_{0}는 gif.latex?\\small%20-\\infty로, gif.latex?\\small%20t_{1}은 gif.latex?\\small%20\\infty로 보내질 수 있음.)

식 (1)의 일반해는 위의 특수해에 homogeneous equation인 gif.latex?\\small%20\\inline%20\\left(\\frac{d^{2}}{dt^{2}}+2\\gamma%20\\frac{d}{dt}+\\omega_{0}^{2}\\right)%20x(t)%20=0의 일반해를 더해 줌으로써 얻을 수 있으며, 여기에 초기조건을 이용하면 미정계수를 정할 수 있다.

이제 그린함수를 구하는 방법을 간략히 기술하겠다. 그린함수의 source인 gif.latex?\\small%20\\inline%20\\delta(t-t^{\\prime})은 정확히 gif.latex?\\small%20\\inline%20t=t^{\\prime}에서를 제외하면 0이기 때문에, gif.latex?\\small%20\\inline%20G(t;t^{\\prime})는 gif.latex?\\small%20\\inline%20t%3Et^{\\prime}와 gif.latex?\\small%20\\inline%20t%3Ct^{\\prime}라는 두 구간 각각에서 단순히 gif.latex?\\small%20\\inline%20\\left(\\frac{d^{2}}{dt^{2}}+2\\gamma%20\\frac{d}{dt}+\\omega_{0}^{2}\\right)%20G(t;t^{\\prime})=0을 만족시킨다. gif.latex?\\small%20\\inline%20t=t^{\\prime}에서는, 식 (2)의 양변을  gif.latex?\\small%20\\inline%20t=t^{\\prime}-\\epsilon부터 gif.latex?\\small%20\\inline%20t=t^{\\prime}+\\epsilon까지 적분함으로써 얻어지는 경계조건인 gif.latex?\\small%20\\inline%20\\partial_{t}G(t\\!=\\!t^{\\prime}\\!+\\!\\epsilon,t^{\\prime})-\\partial_{t}G(t\\!=\\!t^{\\prime}\\!-\\!\\epsilon,t^{\\prime})=1 이 성립해야 한다. 지금까지의 정보만으로 그린함수를 구하는 것이 가능한데, 여기에 어느 정도의 임의성이 있음을 알 수 있다. 예를 들어 다음의 함수들은 둘 모두  지금까지 이야기한 그린함수의 조건을 만족시킨다.

gif.latex?G_{+}(t;t^{\\prime})%20=%20\\frac{\\theta(t-t^{\\prime})}{\\sqrt{\\omega_{0}^{2}-\\gamma^{2}}}\\,e^{-\\gamma%20(t-t^{\\prime})}%20\\sin\\Big[\\sqrt{\\omega_{0}^{2}-\\gamma^{2}}\\,(t-t^{\\prime})\\Big]..............(4-1)          (retarded Green's function)
gif.latex?G_{-}(t;t^{\\prime})%20=%20-\\frac{\\theta(t^{\\prime}-t)}{\\sqrt{\\omega_{0}^{2}-\\gamma^{2}}}\\,e^{-\\gamma%20(t-t^{\\prime})}%20\\sin\\Big[\\sqrt{\\omega_{0}^{2}-\\gamma^{2}}\\,(t-t^{\\prime})\\Big]..............(4-2)       (advanced Green's function)

위에서  gif.latex?\\small%20\\inline%20\\theta(t-t^{\\prime})은 step function이다. Retarded Green's function은 gif.latex?\\small%20\\inline%20t%3Et^{\\prime}일 때에만 값이 있고(식 3을 기준으로 생각하면, 해를 구하는 시점 gif.latex?\\small%20\\inline%20t가 source가 작용한 시점 gif.latex?\\small%20\\inline%20t^{\\prime}보다 언제나 미래에 있음), advanced Green's function은 gif.latex?\\small%20\\inline%20t%3Ct^{\\prime}일 때에만 값이 있음에(gif.latex?\\small%20\\inline%20t가 gif.latex?\\small%20\\inline%20t^{\\prime}보다 언제나 과거에 있음) 유의하자. 참고로 retarded Green's function과 advanced Green's function 외에도 무수히 많은 Green's function이 존재한다. 예를 들어 2 와 같은 경우를 생각할 수 있겠다.

우리는 지금까지 그린함수를 이용하여 source가 있는 미분방정식의 해를(여기서는 강제진동) 구할 수 있다는 것과, 이 그린함수에 임의성이 있다는 것을 이야기하였다. 그렇다면 이 중 아무 그린함수나 골라서 사용하면 되는 것처럼 보일 수 있지만, 실상은 그렇지 않다. 시간 변화를 다루는 모든 물리 문제는 과거의 정보를 바탕으로 미래를 예측하는 형태이기 때문이다. 예를 들어 초기조건 gif.latex?\\small%20\\inline%20x(t_{0}) 및 gif.latex?\\small%20\\inline%20\\dot{x}(t_{0}))를 알고, gif.latex?\\small%20\\inline%20t_{0}%3Ct^{\\prime}%3Ct에서 어떤 힘 gif.latex?\\small%20\\inline%20F(t^{\\prime})가 작용했는지가 주어지면, 시간 gif.latex?\\small%20\\inline%20t에서 진동자의 변위 gif.latex?\\small%20\\inline%20x(t)를 계산할 수 있어야 한다. (gif.latex?\\small%20\\inline%20t_{0}%3Ct%3C\\infty.)  gif.latex?\\small%20\\inline%20t보다 미래에 gif.latex?\\small%20\\inline%20F(t^{\\prime})가 어떻게 되는지는 우리의 관심 밖이다. 그러나 식 (3)에서 적분 구간의 upper limit은 언제나 gif.latex?\\small%20\\inline%20t보다 크기 때문에, 미래의 정보가 없이는 일반적으로 적분을 계산하는 것이 불가능하다.

이러한 문제를 일으키지 않는 유일한 그린함수는 식 (4-1)에서 주어진 retarded Green's function이다.

gif.latex?x_{p}(t)%20=%20\\int_{t_{0}}^{\\infty}dt^\\prime%20G_{+}(t;t^{\\prime})%20\\frac{F(t^{\\prime})}{m}%20=%20\\int_{t_{0}}^{t}dt^\\prime%20G_{+}(t;t^{\\prime})%20\\frac{F(t^{\\prime})}{m}      gif.latex?(t%3Et_{0})   ............(5)

(gif.latex?\\small%20\\inline%20t_{1}\\rightarrow\\infty임에 유의. 또한 여기에 homogeneous equation의 해를 적절히 더해 줘야 gif.latex?\\small%20\\inline%20x(t)의 최종 형태가 완성됨을 잊지 말자.)

gif.latex?\\small%20\\inline%20G_{+}(t;t^{\\prime})에 곱해진 step function에 의해 적분의 실제 upper limit이 gif.latex?\\small%20\\inline%20t가 되기 때문이다. 다시 말해 time-evolution, 즉, 과거에서 미래로의 시간 변화를 다루는 문제는 언제나 retarded Green's function을 이용하여 풀어야 한다. 

다소 인위적이기는 하지만, gif.latex?\\small%20\\inline%20t_{1} 에서의 조건을 알고, 이보다 과거 시점에 진동자가 어떻게 움직이고 있었는지를 계산하는 문제를 생각할 수도 있다. 이 경우, gif.latex?\\small%20\\inline%20t_{1}%3Et^{\\prime}%3Et에서의 gif.latex?\\small%20\\inline%20F(t^{\\prime})가 주어지고(gif.latex?\\small%20\\inline%20t보다 과거에 대해서는 정보 없음), 이로부터 gif.latex?\\small%20\\inline%20x(t)를 구하는 것이다. (gif.latex?\\small%20\\inline%20-\\infty%3Ct%3Ct_{1}) 이때 사용해야 할 그린함수는 바로 advanced Green's function gif.latex?\\small%20\\inline%20G_{-}(t;t^{\\prime})이다.

gif.latex?x_{p}(t)%20=%20\\int_{-\\infty}^{t_{1}}dt^\\prime%20G_{-}(t;t^{\\prime})%20\\frac{F(t^{\\prime})}{m}%20=%20\\int_{t}^{t_{1}}dt^\\prime%20G_{-}(t;t^{\\prime})%20\\frac{F(t^{\\prime})}{m}      gif.latex?(t%3Ct_{1})    ............(6)


우리는 학부 고전역학의 주요 주제 중 하나인 강제진동자를 통해 그린함수의 기본 개념 정리를 마쳤다. 다음 글에서는 양자역학에서 그린함수가 어떻게 쓰이는지 알아 보자. Retarded Green's function과 advanced Green's function의 의미를 숙지해 두는 것이 매우 중요하다.