물갤 정화 글 - 양자역학에서 가장 유용한 산수

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어그로 종자들(허세, ㅈㄹ, 관심병, 이렇게 세 분야의 거두가 한 분씩 활발하게 활동을 하심) 때문에 물갤이 어지러운 바, 이 몸이 물리와 조금이나마 관련이 있는 이야기를 해 보겠심.

양자역학 공부한 갤러들이라면 잘 알겠지만, 양자에는 2-state problem이 자주 등장한다. 왜냐? 우선, 우리가 closed form으로 답을 구할 수 있는 몇 안 되는 문제 중 하나이면서, 양자역학에서 배우는 여러 중요 개념들의 핵심을 이 간단한 문제를 통해 이해할 수 있기 때문. 대표적으로 energy gap이 어떻게 열리는지, 그리고 perturbation에 의해 고유값 및 고유벡터가 어떻게 바뀌는지 등이 있겠음. 구체적인 문제로는 자기장 내의 spin 1/2, BCS theory, unit cell 당 원자가 2개인 고체에서(ex: graphene) 원자 하나당 하나의 orbital만 고려할 때 tight-binding model, Brillouin zone boundary 근처에서 nearly free electron model 등이 정확히 2-state problem이 됨.

2-state problem에서 Hamiltonian은 물론 2x2 Hermitian matrix로 주어짐. 즉, 일반적으로 다음과 같은 형태.

 ...............(1)

(과 는 실수)

를 대각화함으로써 문제를 푸는 것인데....  2x2 행렬을 대각화하는 게 뭐가 대수냐? Characteristic equation 세워서 근의 공식으로 풀면 되는데? 물론 맞는 말이지만, 2x2행렬의 요소가 숫자가 아니라 문자인 경우, 이 방식으로 고유값과 고유벡터를 구하는 것은 상당히 귀찮은 일이며, 이렇게 자주 나오는 문제는 매번 다시 푸는 것보다 그냥 답을 외워버리면 두고두고 편리하다. 답을 외운다고, 복잡한 식을 무작정 외우자는 것이 아니라, 왜 그런 결과가 나오는지에 대한 이해가 있으면 쉽게 머릿속에 들어옴. 따라서 그 중간 과정에 대해 이야기해 보겠음.

임의의 2x2 Hermitian matrix에는 네 개의 독립적인 실수 성분이 존재하는데, 위에서 정의한 를 기준으로  , , , 임. 그에 따라 를 다음과 같이 표현할 수 있음.

        .......................(2)

이 선형 결합에 등장하는 네 개의 Hermitian matrix들은 각각 고유의 이름이 있는데, 우선 다음과 같은 identity matrix.

나머지 셋은 Pauli matrix라고 하여 다음과 같이 정의됨.

                    

이들 Pauli matrices는 다음과 같은 성질을 가짐을 보일 수 있음. (계산해 보면 간단히 나옴.)

,  (x->y->z->x로 cyclic permutation해도 성립. 여기서 i는 허수 i를 의미)

또한, 두 번째 성질에 의해 다음이 성립.

여기서 재미있는 성질을 이끌어낼 수 있는데, 바로 다음.

여기서 벡터 의 각 성분은 실수이며, 벡터 의 각 성분은 Pauli matrix임. 이때, 아래와 같이 고유값 방정식을 써 보면 라는 조건이 의 고유값에 제약을 가함을 알 수 있음.

위의 제약조건에 따르면,  가 가지는 두 고유값은 둘 다  이거나, 둘 다  이거나, 또는 하나는 이고 다른 하나는 이어야 함. 여기서 앞의 두 경우는 불가능. 왜냐하면, 두 고유값이 같다는 것은 이  에 비례함을 의미하는데, 의 trace(두 대각 성분의 합)는 0이 아닌 반면에, 는 trace는 0이기 때문. (Pauli matrix들은 trace가 모두 0임.)

따라서,  의 고유값은  .

이제 식 (2)로 주어지는 의 표현식에서 에 비례하는 부분을 제외하면 다음과 같이 대응시킬 수 있음.

.............(3)

따라서 이 경우 의 고유값은 다음과 같음.

한편, 식 (2)에서 에 비례하는 부분이 고유값에 하는 일은 단지  앞의 계수만큼을 더해 주는 것 뿐이므로, 의 고유값은 다음과 같이 주어짐.

   ....................(4)

그렇다면 고유벡터는 어떻게 될까? 어떤 행렬에 상수를 곱해도 그 고유벡터는 변하지 않으므로, 우리는 임의의 3차원 벡터  대신, 임의의 3차원 단위 벡터 를 고려하면 됨. 또한, identity에 비례하는 행렬을 더해도 고유벡터가 바뀌지 않으므로, 식 (2)에서 에 비례하는 항은 고유벡터에 영향을 주지 않음.

이제 임의의 3차원 단위 벡터를 다음과 같이 매개변수화하는 것이 가능.

즉, 구면 좌표계를 사용한 것과 같음. (, )  식 (3)과 같이 대응시킬 경우, 을 매개변수화한 위 식에 등장하는 두 각도 변수는 다음에 해당.

 

이때, 

.

위 행렬의 고유값은 앞서의 결과로부터 이 됨을 알 수 있고, 그 고유벡터를 구해 보겠음. 고유값 1에 대한 고유벡터 는 다음을 만족.

따라서 고유값 1에 대한 규격화된 고유벡터를 다음과 같이 쓸 수 있음.

  ............(5-1)

비슷한 계산 과정을 고유값 -1에 대해 수행해 보겠음.

그에 따라 고유값 -1에 대한 규격화된 고유벡터를 다음과 같이 쓸 수 있음.

 ..........(5-2)

이제까지의 결과를 종합하면, 일단 우리는 다음과 같은 2-state problem의 Hamiltonian에서 시작하였음.

 ...............(1)

이것을 identity와 Pauli matrix들의 선형결합으로 나타내면 다음과 같음. 

............. (2')

의 고유값이  라는 것으로부터 의 고유값이 다음과 같음을 유추할 수 있음.

   ....................(4)

또한 이 두 고유값에 대응되는 규격화된 고유벡터들은 각각 다음과 같이 쓸 수 있음.

   .................. (5-1), (5-2)

여기서 각도 변수들은 다음과 같이 정의됨.

.

간단히 말해 3차원 실수 벡터   를 구면좌표계에서 나타냈을 때의 , 에 해당.

마지막으로, 에 나오는 와 을 굳이 , , 로 표현하려면, 다음 관계식을 이용하면 됨.

제곱근 앞의 부호가 (+)와 (-)가 둘 다 가능하지 않느냐고 물을 수 있겠으나, 이 경우는 라는 조건 때문에 언제나 (+)로 정해짐.

[ㄱㄱ(121.130)]

모바일에서는글자가다깨져서못본다는게흠

[순석(csj607)]

선형대수 공부하다 속으로 씨발 어따쓰지라고 생각했는데...

[순석(csj607)]

공부하러가야지 ...