전 페이지에 관련된 질문이 있길래..
댓글을 보니 어느정도 질문은 해소하신 것 같은데.. 본문에 햇갈리신다고 한게
x -> x' = x+a ; p ->p' = p 라는 변환은
p = mdx/dt 에서 p' = mdx'/dt 가 성립하니까 일관된 결과를 주고 x를 transform하는 Generating function 도입해서 Translation operator를 만들어 줄 수 있을 거 같은데
x -> x' = x ; p -> p' = p + a 에서는 위 관계가 성립 안하고, 물리적으로 말이 안되는 변환 같으니까 햇갈리는 거잖아요?
그런데 전자와 같은 변환, 변환 후에도 x 와 p와의 relation이 p' = ∂L'/∂x' 꼴로 온전히 보존되는 변환을 point transform이라고 합니다. 참고로 x 와 p의 관계가 온전히 보존될려면 x의 변환에 대해서 p의 변환이 p => p' = (∂x/∂x')p 이면 됨. 양자역학에서 회전변환의 경우도(사쿠라이 3장을 보시면 아시겠지만) 엄밀히 말하면 point transform이고요..분명히 position ket만 회전시킨 거 같은데 로테이션 오퍼레이터 적용시키면 p도 돌고 뭣도 돌고... 결국 그걸로 텐서 오퍼레이터를 정의하죠.
point transform canonical transform의 일부분일 뿐이고 사실 x,p는 독립적으로 변환시킬 수 있습니다. x,p가 독립적이라는 말에 거부감이 드실수도 있는데... 그게 configuration space와 phase space의 차이입니다. phase space 상에서 x,p는 독립이고 그 독립이라는 가정을 소거하는게 바로 운동방정식을 구하는 과정(Hamilton eq.을 푸는 과정) 이 되는 거죠. 그렇기 때문에 위치는 그대로인데 운동량만 변하는 변환에 대해서 거부감을 갖을 필요가 없습니다. 고전역학에서도 얼마든지 그런 변환을 생각할 수 있고 Generating function을 생각할 수 있다는 것이죠.
다만 고전역학과는 달리 양자역학에서 위치와 운동량을 동시에 transform 하는 operator는 생각할 수가 없는데 이는 불확정성 때문인 것 같습니다. 고전역학의 phase space 상에서 정의되는 변환이 양자역학으로 넘어오면서 어떤 제한이 걸리는 것은 확실합니다. 예를들어 postion은 회전시키면서 momentum은 회전 안시키는 operator를 생각할 수 있을 까요? 이런 일이 일어나는 이유는 고전역학에서는 xp라는 물리량을 x값과 p값을 구한 뒤 둘을 곱하면 됬지만 양자역학에서는 그렇지 못한 것과 비슷한 이치인 것 같습니다. 옛날에 이거 때문에 햇갈려서 Heisenberg Group 까지 보고 그랬는데 수학이 부족해서 이해를 못했네요.
고전역학에서도 {q_i, p_j}=delta_ij, {q_i, q_j}=0, {p_i, p_j}=0 의 관계를 유지하려면 제약조건이 비슷하게 걸리지 않나요?
고전역학이나 양자역학이나 그 관계를 만족시켜야 하는것은 똑같지만 제약이 commutation relation에서 오는게 아니라...물리량을 받아적는 algebra가 달라지니까.. 생기는거 같은데.. 분명히 고전역학에서는 운동량과 위치를 동시에 transform할 수 있다면 양자역학에서는 어떤 unitary operator로도 그게 안되지 않나요?
ㄴ 예를 들어 위치를 a만큼 움직이면서 동시에 운동량을 b만큼동시에 증가시키는 unitary operator로 exp(-ipa/ħ)exp(ixb/ħ)가 있는데요. 위치와 운동량을 동시에 transform한다는 말을 정확히 어떤 의미로 사용하신 건지 좀 헷갈림..
그리고 commutation relation이나 Poisson bracket이나 1대1 대응 관계는 아니지만 비슷한 점이 많아서 많은 경우 같은 제약 조건이 걸리지 않나 싶어요. 예를 들어 고전역학이라고 운동량은 z축 중심으로 30도 돌리고, 위치는 x축 중심으로 50도 돌려 버리면 Poisson bracket 관계가 보존되지 않는다는..
아 제가 ㅄ같이 생각을 잘못 했네요. 이 글의 마지막 문단은 없던 걸로;;; 저는 자꾸 x,p 가 비가환이니까 같은 물리량은 운동량 basis ket을 p> => p+a> 로 바꿔주면서 위치 basis ket을 x> => x+b> 로 바꿔주는 unitary opeator는 없을 줄 알았는데.. 기본적으로 잘못 생각 했네요.