대수학 얘기가 종종 나오고 있네요. 물리에서 대수학은 제법 흥미로운 대상이긴 합니다. 다만, 대수학에 대한 심도 있는 내용은 적어도 학부 물리학과에서 찾아보기가 어렵습니다. 그 유명한 Arfken을 보면 group theory라고 해 가지고 따로 챕터가 있긴 합니다만 너무 넓은 영역 중에서 좁은 데 몇 군데만 골라 대강 다루고 있다는 느낌이 듭니다. (게다가 그 중 반절의 내용은 사실 group보다 Lie algebra 쪽에 치중을 많이 든 모양새입니다. 어차피 Lie algebra를 연구하면 해당하는 Lie group을 연구한 셈이 되겠지만요.) 그럼에도 물리를 공부하다 보면 group 얘기를 심심찮게 많이 들어서 해야 하나 싶기도 하고요. (아니, 학부 수업 때는 사실 group 얘기를 거의 안 듣습니다. 일부러 안 하는 것처럼 보일 정도로요. 실제 전공생들한테 이 글이 별로 필요가 없을 수도 있는 이유이기도 합니다.)
하지만 막상 수학과에서 다루는 group 얘기를 보면 일단 이게 무슨 소리인지도 모르겠고, 알아 먹어도 이게 내가 생각했던 것과는 전혀 다른 것 같다는 생각만 들 겁니다. 이번 글에서는 물리학을 공부하는 사람이 대수학을 대하는 데 있어서 필요할 만한 몇 가지를 소개하고자 합니다. 대수학에 관심이 있되, 어떻게 공부해야 할 지 몰라 하던 분들께 도움이 되기를 바라며 몇 자 적어봅니다.
아무래도 물리하는 사람들에게 있어서 대수학 하면 선형대수학(linear algebra)과 group theory가 많이 연상될 겁니다. 선형대수학이야 물리의 정말 많은 곳에서 요긴 혹은 중요하게 사용되는 분야입니다. 수학과 과정으로 다루는 선형대수학 과정은 또한 물리 하는 사람들에게도 무척 많은 도움을 줄 것이고요. (실제로 선형대수학 다 배우고 나서 양자역학을 들으면 엄청난 버프 효과를 받을 수 있습니다.) 뭐, 선형대수학 이야기는 다들 잘 아실테니까 이 쯤만 하죠.
문제는 group theory입니다. 우리가 알고 싶은 것은 SO(3), U(1), SU(2) 같은 것들인데, 수학과 대수학 학부 과정을 들여다 보면 이들 이름을 거의 찾아볼 수가 없습니다. 많은 대학에서 주로 쓰는 교재인 Fraleigh에는 (제 기억이 맞다면) 아예 없고, 서울대에서 쓰는 이인석 교수님의 책들에서는 전 과정인 [선형대수학과 군]에서 간단하게 소개되고 [대수학]에서 잠깐 나오는가 싶더니, 매우 이상한 모양으로만 나올 뿐입니다. ('Finite' SU(n)이라니!) 더더군다나... 수학과 학부 과정에서 다루는 (선형대수학을 제외한) 거의 모든 대수학 내용은 사실 물리학과들이 몰라도 좋을 것들입니다. 기껏해야 내가 다루고 있는 '수'라는 것이 어떤 건가 정도만 알 수 있는 정도죠.
그럴 만도 한 것이, 학부 대수학 과정(서울대에서는 다음 과정으로 geometic algebra와 algebrical geometry 과정이 있는 것으로 압니다만, 이것들은 일단 빼고 말하겠습니다)은 그 목표가 대개 Galois theory를 목표로 하기 때문에 그렇습니다. 공부해 놓고 보면 거의 모든 내용이 이 Galois theory를 염두에 두고 나열된 것들입니다. 전부 다 그런 것은 아닙니다만, 요즘 주로 쓰이는 학부 대수학 교재를 아무거나 잡으면 그 내용 중 적어도 80% 이상이 맨 마지막의 Galois theory를 목표로 하고 있습니다. (옛날 책은 classification of finite simple group 문제가 각광받던 시기의 책들이라 이 문제를 위한 내용이 많았다고 합니다만, 이것도 물리와는 관련이 멀어 보입니다.)
그럼에도 학부 과정 내용들 중 일부는 꼭 보고 가셔야 합니다. 일단 정의 자체라든가 가장 기본적인 성질들도 알아야겠지만, 무엇보다도 subgroup, normal group 개념이라든가 isomorphism theorem들 또한 나중에 물리학자를 위한 group theory를 공부할 때 있어서 필요한 내용입니다. 다른 대수적 구조들인 ring, module, field, algebra도 일단은 뭔지 알아야 할 것이고, 좀 전에 말한 꼭 배워야 할 group의 요소들에 대응하는 요소들(submodule, ideal, isomorphism theorems)도 아셔야 합니다.
물리학자들한테 필요한 내용들은 사실 그 이후에 나오기 시작합니다. 아까 잠깐 말한 algebrical geometry라든가 geometric algebra 과정 같은 것도 그렇고요 (이 과정들은 아직 따로 공부 안 해 봐서 잘 모르겠습니다 --- 서울대에서는 학부 때 다루는데, 다른 학교는 안 그런 것 같습니다), 그리고 가장 궁금해 하실 Lie theory는 제가 알기로 석박사 과정에서 다루는 내용이라고 합니다.
Lie theory는 사실 상 Lie group과 Lie algebra를 연구하는 이론으로, 우리가 궁금해 하는 SO(n), U(n) 같은 것들을 연구하는 것입니다. 이들은 학부에서 주로 다루는 group과 확연히 다릅니나. 학부에서는 finite group를 주로 다루는 반면에 Lie group은 일단 infinite합니다. 또한 continuous하고요. (Finite group은 일단 discrete합니다.) 그런데 이 이론들을 공부하는 것은 사실 결코 만만한 일이 아닙니다. 먼저 선형대수학에서 다루는 굉장히 많은 내용들을 알아야 하고 (SO(n), U(n) 같은 건 사실 한 vector space에 작용되는 특별한 linear operator들의 집합이니까요), 아까 잠깐 말한 module 개념 같은 것, 특히 representation을 잘 파악하고 있어야 합니다. 사실 Lie group 내용 중 상당수는 이에 대응하는 구조인 Lie algebra를 다루는 데에 할애가 되어 있고, Lie group을 다룰 땐 그 group 자체보다는 주어진 group과 대응하는 Lie algebra를 굴리는 방식으로 많이 연구하거든요. 말했듯이, Lie algebra는 많은 선행 학습을 필요로 합니다. 사실 이게 학부에서 찾을 수 없는 내용일 만한 가장 큰 이유겠죠.
그래도 이건 Lie theory를 제대로 하겠다 할 때 얘기고요, 물리학자들에게 꼭 필요한 내용만 원한다면 몇 권 있긴 합니다. 제가 아는 건 Cahn의 Semi-Simple Lie Algebras and Their Representation 정도 뿐이네요. (George라는 분께서 쓰신 책도 있는 걸로 아는데, 까먹었네요...) Classical group이라고 찾아보시는 것도 도움이 될 겁니다. (SO(n), U(n) 같은 group들을 classical group이라고 합니다.) 만약 Lie theory를 제대로 하고 싶으시다면 Bourbaki가 일단 끝판왕이고, Fulton & Harris의 Representation Theory도 시작으로는 괜찮아 보입니다. 저는 Jacobson으로 Lie algebra를 공부했습니다만, 이건 오래됐고 꽤 어려운 책이라 처음 하시는 분들께 권해 드리기가 좀 그러네요. (전 수학으로는 하드코어(!)한 걸 좋아해서 이 책을 잡았습니다. ㅎ) 근데 제대로 하실 필요까지는 웬만해선 없을 겁니다.
한편, 결정 이론에서는 finite group에 대한 이론이 필요하다고 들은 기억이 있습니다. 그래도 이들 자체에 대한 쓸만한 이론은 Galois theory를 중심으로 하는 학부 책에서 찾기 어렵다고 알고 있습니다. 제가 그 쪽으로는 공부를 안 해 봐서 잘 모르겠습니다만, 일단 Lang의 [Algebra]를 읽으시는 건 좋은 생각일 겁니다. 이 책에서 group 파트를 읽다 보면 (여기서도 Lie group 얘기는 안 나옵니다) 어떤 reference가 필요한가 정도는 알 수 있겠죠. (사실 대수학 자체를 serious하게 하고자 하는 분이라면 Lang의 이 책을 반드시 갖고 있어야 할 것입니다.)
뭔가 잔뜩 쓰긴 했는데, 제가 말하고 싶은 걸 다 잘 전달했는지는 의문입니다. 그래도 누군가에게는 도움이 되리라는 기대로 올려봅니다. 그래도 이 글이 학부 대수학에서부터 쩔쩔매거나 혹은 속단하는 경우에 어느 정도 도움이 되리라 봅니다.
안 하던 세 줄 요약을 이번엔 너무 기니까 한 번 해 봅니다 :
1. (선형대수학 빼고) 학부 과정 대수학은 기본적인 거 빼고 물리 하는 데 별 필요가 없습니다.
2. 물리에서 말하는 group theory 하려면 Lie group 쪽으로 알아봅니다.
3. 근데 이거 짱 어려워요. 걍 물리학자를 위한 쉬운 학습 방법 찾아다 알아서 하시길.
덧 : 학부 대수학 처음 과정을 보면 도대체 이게 뭐 하는 것인가 싶을 정도로 정의 정의 정의...만 나온 것 같아 보입니다. (이인석 교수님께서는 아예 책에서 이 책은 언어 책이라고 천명(시인?)하십니다.) 게다가 당연해 보이는 것들만 맨날 증명하는 것 같아 보이고요. 그럴 수 밖에 없는 것이, 대수학 초반 부분은 그야말로 수학의 거의 가장 밑바닥을 탐구하는 것입니다. 즉, 가장 기본적인 영역인 거죠. 아마 그보다 아래로 내려가면 수학의 제일 밑뿌리인 집합론 뿐일 겁니다. 그러다 보니 처음에 어려울 수 밖에요.
하지만 나중에 수 체계 같은 구체적인 것들에다 배운 것들을 접목시키면, 이게 왜 그래야 했는지, 왜 이런 순서대로 했는지, 왜 이런 정의와 정리를 끌어와야 했는지를 이해할 수 있습니다. 물론 어느 정도 내공이 쌓여야 가능한 일이고요, 더군다나 물리 하는 사람들한텐 별로 안 중요한 것이니, 그냥 그러려니 하고 훗날(Lie theory)만 생각하며 닥치고 외우는 것도 한 방법이겠습니다.
근데 진짜 리그룹 제대로 하려면 알아야할게 너무 많아요. 수학과에서는 해석 위상을 일단 하고 학부 다양체 해석을 해논 상태에서 대학원가면 '미분다양체개론'을 배움, 이 미다체에서 lie group이 처음 나오고 글 쓰신듯 대수쪽으로도 그룹을 어느정도 해놔야 할수 있는게 리그룹... 물리학 하는분들은 그냥 '물리학자를 위한 군론' 이런책을 보시는게 훨씬더 나을거같음. 근데 님 진짜 학부생이에요? ㅋㅋ 장난아니네 ㅋㅋㅋ 학부어딘지 여쭤도 될까요?
아, manifold 얘기를 빼먹었네요. 본문은 대수학에만 집중해서 쓴 거긴 한 건데... 중요한 걸 빼먹었네요 ㅋㅋ
학부생 맞습니다만, 이래저래 특이한 놈인 것만 기억하시면 됩니다. 그리고 다니는 데는 말하기가 좀 그렇습니다. (서울에 있다는 것 정도는 말할 수 있어요.)
수학과에서 배우는 군론이 절대 어려운 게 아니야. 일단 이해하고 나면 쉬워. 근데 설명과 예제가 별로 없어 이해가 안 되는 것 뿐이지
순환군이니 교대군이니 대칭군이니 하는 게 아 이런 게 있구나 하는 정도, 특징과 개념을 구별할 수 있을 정도만 공부하면 된다. 직접적으로 물리학에 쓰이지 않는다고 해도 리군을 배울려면 다른 군들을 알아야 리군의 특징을 알 거 아니냐.
또 갈루아이론의 핵심이 체의 확대와 준동형사상인데 그걸 알아야 나중에 물리공부할 때에도 진도를 나갈 수 있다. 갈루아이론은 5차 방정식의 대수적 해가 없다는 걸 증명하려다 나온 건데 이론이란 건 일반화의 성격을 가지기 때문에 물리에도 동일하게 적용할 수 있다.
카카오님 말대로 Lie group을 제대로 하려면 미분다양체를 알긴 해야 되죠. 그런데 밑바닥부터 증명하는 게 아니라, 사실만 가져다 쓰는 거라면 굳이 붉은입자님처럼 하드코어하게 공부하실 필요는 없는 것 같아요.
오스카//리 군 정의는 아냐
참 딜레마인게, 물리학도 입장에서는 수학을 "얼마나 깊이있게 공부할 것이냐"의 기준을 잡기가 쉽지 않은 것 같음
결론 : 구글링하세요 구글링. 구글링하면 좋은 자료들 많이 나와요
근데 물리도 깊이 하다보면 자연스레 수학을 어느정도 하게 되니까, 굳이 학부수학을 처음부터 하드코어하게 팔 필요는 없을거같아요. 이론물리를 한다면 말이 좀 다르겠지만, 그게 아니라면 수물 열심히 보고 그와 관련해서 물리학자들을 위해 나온 group theory라던지 functional analysis라던지 뭐 이런책 봐도 나쁠것같진 않을듯.
ㄴ 맞는 말임. 그런데 "결과만 쓰는 정도가 아닌, 증명도 조금 필요한 정도의 수학적 수준을 요구"한다면, 이미 그 땐 수학을 하드코어하게 공부하지 않으면 안 된다는게 좀 문제. 자신이 연구할 분야에서 수학이 얼마나 쓰이는지를 미리 알아보는 것도 중요할 듯 싶네요.
결정의 대칭구조... Point group이나 Space group을 다루기 위해서는 저런 군론을 잘 알아야 하는 데, 기초를 닦은 교수들이 몇 없거니와(물리/화학 교과서에 나온 정도만 이해) 애시당초에 이론 말고 실험이나 깨작대다가 교수 된 인간들이 많기 때문에 아무래도 학생이 제대로 배우려면 혼자서 공부하는 수 밖에 없음. 공부 하고 싶으면 서울대로 가자.
물리학에서 SO(3) 나오면 생소해서 뭔가 대단한 것처럼 생각하는데 그냥 직교하는 세 개의 축으로 구성된 카테시안 공간이야. 수학을 공부해서 치환군이나 대칭군의 개념을 배우고 나면 SO(3)가 아무 것도 아니라는 걸 알게 되지. 그냥 간단한 것 우리가 익히 알고 있는 익숙한 대상을 좀 더 엄밀한 정의를 도입하여 추상화한 것 뿐이다. 그렇게 해야 엄밀한 논리전개가 가능해지니까.
ㄴgroup과 space를 혼용하는 병신잼 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
ㄴ 동어 반복하지마. 원래 수학이라는 게 "우리가 익히 알고 있는 (유용하다고 여겨지는) 대상들을 추상화 시켜 연구하는 학문"이다. 다 아는 얘기 하지 마
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ 끝까지 아는척잼 ㅋㅋㅋㅋㅋㅋ SO가 무슨 약자인지는 아시구요? ㅋㅋㅋㅋ 하긴 어려울게 뭐가있어 공간에서 그냥 돌리는건데 ㅋㅋㅋ 다쉽지 ㅋㅋㅋ
단지 현대 수학은 고도로 추상화가 되어 있어서, 이런 개념들을 배우는 게 어떤 의미가 있는지 깨닫는 게 오래 걸리는 것 뿐이지
붉은입자님 글 자주 써 주세요 ㅋㅋㅋ 뭔가 물갤 분위기 나서 좋네
ㄴ 레알 맞는말인듯. '이걸 왜 배우는가'라는걸 깨닫는데 좀 오래걸림. '이 def나 thm을 통해서 궁극적으로 하려는것이 무엇인가' 이걸 깨닫는 순간의 그 통쾌함이란 ㅋㅋㅋㅋ
뭐가 그렇게 엄밀한 정의가 필요한거야? 공간이나 군이나 그게 그거지. 평행선이 평행하니까 평행선이지. 그걸 유클리드 공간에서 뭐 공리를 증명을 하고 염병을 할 필요 없어. 그냥 물리는 물리적 대상인 자연을 탐구하는 학문이지 수학이 아니다. 수학도 현대수학이 추상화의 길을 걸어 논리학과 구별이 안 되는 병신이 되어서 그렇지 그 수학이란 것도 절대적인 게 아니야.
ㄴ 그런 마인드니까 normal subgroup까지 밖에 현대대수도 공부 못 하지 ㄷㄷ 그냥 평생 겉핥기만 해라 ㅋㅋㅋ
내가 전에 추천해준 대수학 책은 보지도 않았지? 예제, 설명 잘 되어 있는 책인데
ㄴ한글로 된 책 아니면 못읽으십니다. 하버드와 포항공대에 염증을 가지고 계신 분인걸 감안해주세요.
ㄴ 아 맞다... 미안...
자주 써 달라고 하시니, 뭔가 기분이 좋네요 ㅋㅋ
근데 Galois theory를 물리에 적용한 사례가 있나요? 처음 듣는군요. 실수나 복소수에 쓰려고 해도 실수 field의 extension은 복소수 뿐이고, 복소수는 아예 algebraically closed하니, Galois theory를 굳이 쓸 일이 없을 거고요.
Group이 응용되는 예 중 하나가 Galois theory에서 field와 group을 대응시키는 거고, 그냥 Group 자체가 대칭성을 다루기 위해 더 많이 쓰이는데 과베는 그걸 몰라요. 과베야 Group action 공부해봐라. Set(Module, coset space 등)에 group이 acting함으로써 많은 정보를 얻을 수 있단다
polynomial field가 일단 생각나긴 하는데, 그 algebraic extension이 물리에서 쓰이던가요? 일반화해서 쓰일 수 있다길래 어디다 쓰일 수 있는지 궁금해서 물어봅니다.
Bourbaki랑 Jacobson이라니, 글쓴이는 어느 시대 사람임? 리대수 표준입문교재가 Humphreys 된지 20년이 다 되어감. 그리고 어짜피 수학과 리대수 입문 교재 상당수는 semisimple theory 전개 위주라 특수 예제 몇몇을 빠삭하게 알아야 하는 물리학도들한텐 큰 도움이 안됨. 엄밀함을 원한다면 차라리 Peter Woit 교수의 렉쳐노트 http://www.math.columbia.edu/~woit/QM/qmbook.pdf 같은걸 보는게 나을지도.
덧붙이자면 학부대수에 SO니 U니 SU니 잘 안나오는건 갈루아이론 중심으로 나와서가 아니라 커리큘럼이 symmetric group 위주로 짜여있어서 그럼. 실제로 linear group 위주로 이론전개하는 Artin같은 추상대수책 보면 잘만 나와있음. 학부 수준에서 적절한 리군론 입문 교재는 Stillwell의 Naive Lie Theory.수
아, Artin이 있었죠. 위에서 계속 말한 이인석 교수님 책에서 Artin style 얘기 많이 하고, 그 책이 Artin을 염두에 두고 쓰여진 거라는 건 익히 들었어요. 본 적은 없지만... 사실 본 적이 없는 건 거론하기가 좀 그랬죠. 우리나라에서 Fraleigh가 많이 쓰이는 것 같기도 하고요.
하기야, symmetric group이 주이긴 하죠. 근데 실제 수업을 듣거나 책을 보면 그런 얘기보다는 '이 수업은 갈루아로 가는 게 목적이야'라고 많이 얘기를 해서요. 그것만 생각했는데, symmetric group 얘기는 생각 못 했네요.
저 그리고 아직 젊습니다만;; 하지만 제 정보력이 부족한 탓인지 오래된 책들만 알고 있습니다. 아무튼, Humphreys라... 어디서 본 기억이 나는 책인데, 요즘 표준인 줄은 몰랐어요. 좋은 책이었군요. 좋은 정보 고맙습니다
이 형(?) 글 보고 있으면 얼른 물갤 끄고 책 다시 펴야지 하는 생각부터 듬.
좋은 생각이군요. 저도 여기서 이럴 게 아니라 공부해야 하는 건데 말이죠...
ㅁㄴㅇㄹ// Woit 교수님의 책도 좋은 것 같습니다. 아니, 상당히 도움이 될 것 같습니다. (하드코어한 거 좋아하는 저한테는요.) 또 고맙습니다 ㅎ
고전글에 자괴감 느끼고 갑니다..