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로켓이 100m/s의 속도까지 가속하는데 1리터의 연료가 들었다면 여기서 다시 200m/s의 속도로 가속하려면

연료가 얼마가 드는가? (답: 1리터)

하지만 운동에너지는 속도의 제곱에 비례해서 증가하므로 에너지 보존법칙에 위배되지 않는가?

(답: 연료의 운동에너지를 포함해서 계산해보면 위배되지 않음.)


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로켓의 초기 속도를 gif.latex?V_0 질량을 M이라고 하자.

연료 분출은 로켓에 대해 상대속도 gif.latex?v 로 질량 m의 연료를 분출한다. 연료 분출이 끝나면 속도는 로켓의 속도는 V만큼

증가되어 gif.latex?V+V_0 가 된다.


1. 운동량 보존 법칙


연료 분출 전후의 운동량이 보존되야 하므로,


gif.latex?MV_0 = m(V_0-v)+(M-m)(V_0+V)


이식을 정리하면


gif.latex?%5C%5C MV_0 = mV_0-mv+MV_0-mV_0+MV-mV%5C%5C 0 = -mv+MV-mV%5C%5C m(V+v)=MV%5C%5C m =%5Cfrac{MV}{V+v}%5Cquad%5Cquad%5Ctext{(1)}


식 (1)과 같다. 즉, 로켓을 V만큼 추가로 가속시키는 데 필요한 연료의 무게는 초기속도 gif.latex?V_0 와는 무관하다.


2. 에너지 보존

연료의 분사에 따른 역학적 에너지의 증가치를 계산해보자.

먼저 초기 운동에너지는 다음과 같다.


gif.latex?E_1 = %5Cfrac{1}{2}MV_0^2


분사 이후 에너지는 다음과 같다.


gif.latex?%5Cbegin{align*} E_2 &= %5Cfrac{1}{2}(M-m)(V_0+V)^2 + %5Cfrac{1}{2}m(V_0-v)^2%5C%5C &=%5Cfrac{1}{2}%5Cleft[(M-m)(V_0^2+2VV_0+V^2)+m(V_0^2-2V_0v-v^2)%5Cright]%5C%5C &=%5Cfrac{1}{2}%5Cleft[MV_0^2+MV^2-mV^2+mv^2+2MVV_0-2mVV_0-2mV_0v %5Cright ]%5C%5C &=%5Cfrac{1}{2}%5Cleft[MV_0^2+MV^2-mV^2+mv^2+2(%5Cunderbrace{MV-mV-mv}_{=0})V_0 %5Cright ]%5C%5C &=%5Cfrac{1}{2}(MV_0^2+MV^2-mV^2+mv^2) %5Cend{align*}


따라서 증가된 에너지는 다음과 같다.


gif.latex?%5Cbegin{align*} %5CDelta E &=E_2-E_1%5C%5C &=%5Cfrac{1}{2}(MV^2-mV^2+mv^2) %5Cend{align*}


운동에너지 증가량 역시 초기 속도에 관계가 없으며, 에너지 보존 법칙에 위배되지 않는다.



3. 상대성의 원리


로켓은 등속계이므로 100m/s로 나아가고 있더라도, 로켓 중심 좌표계에서는 정지한 것과 같다. 따라서 100m/s를 더 가속하는데 사용하는 연료량이 달라진다면 상대성의 원리에 어긋난다.

따라서 복잡한 계산을 해보지 않더라도 우주에서는 상대성의 원리에 따라 일정한 속도를 추가로 가속시키는데 필요한 연료의 양은 같다.