안녕하십니까? 철타곤(http://dk12.egloos.com/)의 철심장입니...아니 철심장이다!

전 편에 이어 일반 상대성이론 강의-강의라하니 거창하니 그냥 소개를 계속해보겠음..

생각보다 여기 물겔은 상대성이론에 너무 무지한 사람들이 많은 것 같아 철필을 할애하였다......


일반 상대성이론은 기준계에 대해 운동계가 가속도가 있는 경우를 다룬다고 소개하였고 따라서 가속도로 말미암아 휘어진 공간을 다루게 된다고 소개하였다. 
  
그렇다면 이제 어떻게 휘어진 공간을 표현할 것인가? 그것은 구면좌표계나 쌍곡좌표계같은 곡면좌표를 사용하게 되는데 이때 공간이나 좌표의 휘어짐을 표현하는데 가장 긴요하게 사용되는 것이 바로 고등수학의 연산자인 'tensor'라는 것이다. 이름은 들어봤나? 텐서~ (사실 텐서를 모르면 절대로 일반상대성이론을 안다고 할 수 없다...따라서 일반상대성이론을 감히 안다고 말하려면 tensor는 필수다!)

텐서는 일반 상대성이론, 전자기학등의 분야에서 특히 중요한 연산자다. 물리학이외의 공학분야에서 재료공학쪽에서 가끔 사용되기도 하는데,..이는 시료 내부의 휘어짐이나 시료의 휘어진 가공을 필요로 할때 사용된다.

자 이제 본격적으로 설명들어가면....^^

스칼라와 벡터는 텐서의 특별한 경우로 스칼라는 하나의 실수로 나타내고 rank가 0인 텐서다.??물리학적 표현으로 '좌표계의 회전에서 변하지않는 양'이라고 명명한다.(이런 공식적 정의를 이해하려고하면 바보된다.그냥 그런가보다하면된다...)

성분이 주어진 원 점으로부터 한 점까지의 거리처럼 변하는 양은 벡터라고 부른다.고등학교에서 배운 스칼라와 벡터에 대한 표현과는 전혀 다르지? 이게 물리학적 표현이다.^^

3차원 공간에서 벡터는 3 = 3¹ 개의 실수로 나타내고 rank가 1인 텐서다.

rank가 n인 텐서는 3ⁿ 개의 성분을 가지게 된다.

여기에서 gradient 나 divergence, 공변,반변,혼합 등의 이해가 필요하나 여기서는 생략....그런 것이 필요함만 알아두시라~

Rank는 편도함수(또는 방향cosine)의 개수로 0은 스칼라, 1은 벡터, 2는 텐서다. 텐서는 윗첨자, 아랫첨자를 사용하여 표시되며(밑줄쫙~!) 각 지표(윗첨자,아랫첨자)는 공간의 차원수에 따라 변하지만 지표의 개수(또는 텐서의rank)는 차원에 무관하다.

텐서의 정의식을 올리려면 엄청난 키보드 노가다(?)가 필요해서 약식만 올리려다 그냥 다 올려보겠다....

먼저 약식으로는 요따우로 쓴다.(rank2의 경우)


                                                   ij

공변텐서 A
                                                  i

반변텐서 B j

혼합텐서 C i j

이걸 제대로 쓰면.....


   ´ i j             x’i    x’j k l

A   =Σ --- --- A

                 K l     x k   x l


   ´ i              
x’i     x l k

B j  =Σ --- --- B l

                 K l    x k     x´ j


    ´               
x k     x l

C i J  =Σ --- --- Ck l

                 K l     x´i     x´ j



요렇게되는데 이게 제대로된 tensor의 정의식이다.
(
~ 정말 아래한글로 수식쓰기 어렵당..ㅋㅋ)



데카르트 좌표계(직각좌표계)를 사용한다면 rank2인 텐서의 세가지 형태-반변,혼합,공변-은 모두 같게 됩니다.

(무슨 뜻이냐면 텐서는 공간의 휨을 나타내는것이라했다.그런데 데카르트좌표계는 일명 두부모 좌표계다, 두부모같이 직각이며평평한 좌표계란 사실..그러니 휨이 없다...따라서 반변,공변 ,혼합까지 모다 같아질수 밖에....-이 설명 이해하면 넌 거의 천재다.물리학 공부하려면 이 정도 설명쯤은 이해할 수 있는 천재성이 좀 있어야한다...)


직각좌표계하면 뭐가 생각나지? 민코브스키공간, 특수상대성이론이 생각나야지~ 그래서 특수상대성이론의 공간인 민코브스키공간은 직각좌표계인 데카르트좌표계를 사용한다고 했다
.


따라서
데카르트좌표계에서는 rank2인 텐서의 공변,반변,혼합 형태가 다 같게 되므로 첨자를 굳이 윗첨자와 아랫첨자로 나눠쓰지않고 그냥 아래첨자로 혼용한다.(이건 이해가능하지?)

그러나 휘어진 공간을 다루는 일반상대성이론에서 비데카르트좌표계를 사용할때는 텐서의 윗첨자와 아랫첨자가 반드시 구분되어져야 한.(밑줄쫙~!)


그렇다면

4차원 공간을 3차원 공간의 수학적 확장으로 해석해보면 쉽게 5,6N차원 공간을 얻을 수가 있는데 이것은 전형적인 성분분해의 결과다.
이 부분을 오해를 많이 하는데 세상의 공간이 N차원이 있다는 것이 아니다! 수학적으로 말하는 것이다.

차원이란 본래 수학적 개념이다.... 세상의 N차원 공간? 그건 하나님만이 아시지요...우리의 존재와 인지능력밖이다...

우리가 살고있는 공간은 4차원공간인데 이 4차원공간은 제4의 변수 t가 시간인 Minkowdki(민코브스키) 공간으로 다음과 같이 표현한다.


(x1, x2, x3, x4 ) = (x, y, z, ict)


이것이 바로 특수상대성이론에서 이뤄지는 시공의 합병이다.

 4차원공간에서 회전을 묘사하는 변환은 바로 특수상대성이론의 로렌쯔변환이다.


(이제 전 시간에 민코브스키공간은 특수상대성이론의 공간이고 따라서 일반상대성이론의 공간이라고 소개한 어떤 게시물이 틀렸다고 말했는데 그 이유를 이제 아겠지?) 


따라서 휘어진 공간을 다루는 일반 상대성이론으로 가면 직각좌표인 데카르트 좌표계에 국한하지않고 일반적인 비데카르트 좌표계를 다루게 된다.  휘어진 비데카르트좌표계를 사용하므로 좌표변환과 휘어짐을 기술할 수 있는 텐서가 반드시 필요한 것이고....


오늘은 피곤하니 여기까지~..


앞으로 기분 좋으면 더 올리고 기분 조카트면 더 안올리고 니들 무식대로  상대성이론이 틀렸다는 둥,일반상대성이론을 틀렸다는 이론이 나왔다는둥 별 꼴 뚜 기같은 소리나 하며 평생 그러고살다 디져도록 놔둘꺼다!   ^^


일반상대성이론은 텐서를 사용한 수식이 전부다! 텐서모르면 수식조차 못읽는다......

텐서(tensor)...평생 처음보시는 분들도 많으시죠?^^
http://dk12.egloos.com/
-.- 타오르는 보수중립 민중의 불꽃, 철타곤의  철  심  장


p.s: 참! 민간핵무기개발추진위원회(http://cafe.naver.com/nuclearmaker)가 출범하였다....
       주둥이로만 애국하지말고 가입해라!가입해라!가입해라!!!!!!  존마니들아~!