선대칭인 두 도형에 대해 매우 직관적인 평행이동 생각을 해보도록 하자.
두 도형이 선대칭일 때, 한 도형을 고정시킨 채 나머지 한 도형만 축과 수직인 방향으로 평행이동을 해본다.
이 때 두 도형의 대칭은 그대로 유지될 것이며, 축의 이동 거리는 도형의 이동 거리의 절반이다.
이것은 직관적으로 "평균"의 입장에서 당연하다. 0과 10의 평균이 5이고, 2와 10의 평균은 6인 것과 같다.
이제 y=x에 대칭인 f와 g를 놓는다.
한쪽의 x축 방향 평행이동만큼, 다른 쪽을 y축 방향 평행이동시킨다면 대칭축은 일치한다.
(즉 y=x 대칭의 경우라면 f의 x축 평행이동과 g의 y축 평행이동이 동일하게 작용하므로 대칭축만 구한다면 전부 한 도형에 평행이동을 몰아넣어도 된다.)
이제 위의 두 직관을 바탕으로 우리의 이동을 두 단계에 걸쳐 분석해보도록 하자.
일단 첫번째로는 대칭축과 수직인 방향으로 x축 y축 각각 6, -6만큼 평행이동을 시켜 본다.
이러면 대칭축은 x축 y축 각각 3, -3만큼 이동하여 y=x-6이 된다.
f는 사실 y축 방향으로 -3만큼만 이동했다. 현재 -6만큼 이동했기에 y축 방향으로 +3만큼 이동하면 구하는 이동과 똑같다.
이때 g를 3만큼 x축 방향으로 평행이동하여도 대칭축은 y=x-6으로 일치할 것이다.
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