[📃칼럼] 초스압) 행성의 원&타원 궤도이해

[익명(116.121)]

[컴터로작성함]

시험기간인데 공부 ㅈㄴ하기싫어서 이거쓰고 다시 시작함

아무래도 고등학교 과정에서 배우는 궤도역학은 상당히 부실하다보니까

지엽으로 나오면 풀면서 자기 생각이 맞는지 불안해하는 친구들이 좀 많았음

오늘도 질문 올라왔길래 고3때 애들 모아놓고 궤도역학 알려줬던

내용들 그대로 여기다 올려드림

눈으로만 읽지말고 손으로 따라와야 알아들을 수 있음

참고로 교과과정이랑 너무 동떨어졌거나 너무 어려운 내용은 싹다 생략함

증명과정도 그냥 보고싶은사람만 보면됨

좀 기니까 목차에서 필요한 내용뽑아서 보셈 ㄱㄱ

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수정해야할건 댓글로 달아주셈 타인의 눈 만큼 오류 잘찝는것도 없음

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[목차]

1. 행성의 역학적에너지

1-1. 대칭, 비대칭운동

2. 근일점 속도에 따른 궤도변화

2-1. 달로켓의 원리 ( 개념 적용 )

3. 존재할 수 없는 궤도

4. 원궤도&타원궤도 / 타원궤도&타원궤도

5. 시간단축 테크닉

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1, 행성의 역학적에너지

보다시피 역학적에너지는 증명 ㅈㄴ길고 복잡하다.

고등학생과정 총동원하면 증명은 가능한데 몇페이지분량나옴.

그정도 증명은 글의 취지와 맞지 않으니까 생략하고 걍 결과만 외우자

여기만큼은 그냥 받아들이셈

*변수, 상수표기는 다음과 같다.*

G = 중력상수, a = 행성의 궤도반지름

역학적에너지 = Total energy = TE

운동E = KE, 퍼텐셜E = PE

TE = KE + PE

참고로 비리얼 정리 사용하면 저렇게 되는건데

이거 교과 ㅈㄴ넘어간 내용이니까 생략함

1-1. 대칭, 비대칭운동

(천문학 및 천체물리학 서론 p.51)

타원궤도보면 알겠지만, 위치 S가 태양이 있는 타원의 초점이라 해보셈.

그럼 거기를 원점으로 하면 y축으로는 완전 대칭적이고

x축으로는 비대칭인 기하학적인 모양을 볼 수 있음

즉, 이렇게 추론가능함

1) 타원궤도는 y축으로 정사영하면 원점을 기준으로 대칭적인 주기운동을 한다.

2) 타원궤도는 x축으로 정사영하면 원점에 비대칭인 주기운동을 한다.

몰라도되는데 증명과정같은거 이해하고싶으면 알아놓으셈

2. 근일점 속도에 따른 궤도변화

아까 행성의 역학적 에너지는 TE = KE + PE = (Gm1m2/2a) 라고했었음

여기서 타원 궤도의 어떤 지점에서의 운동에너지를 KE, 퍼텐셜에너지를 PE라고 가정하고

KE, PE에 공식을 대입하면 다음처럼 정리가능함.

즉, 활력방정식이나 비스-비바 방정식이라고 부르는 식이 유도됨

보통 활력방정식이라고 부르는데, 전공자들 사이에서는 비스-비바 방정식이라고

하는 경우도 많으니까 둘 다 알아노셈

이 식만있으면 행성이 타원궤도의 어느지점에 있든지 간에

속도가 얼마인지 계산할 수 있음.

그러면 저 활력방정식에서 다음과 같은 결과를 얻을 수 있음

먼저, ii부터 말해보자면 r이 작을수록 v값이 올라간다는 걸 볼 수 있음

그러니까 r이 가장 작은 지점인 근일점에서 속도가 가장 빠름

그다음에 i은 근일점이나 원일점에 국한해서 이해하면 댐

근일점에 행성을 고정시켜놓고( = r값을 고정하고) v값을 증가시키면 근일점에서 a값이 증가함.

아래에 있는 그림을 이용해서 시각적으로 설명하면

근일점에서 v값이 커지면 a값이 증가함 -> 궤도반지름이 증가함 -> 원일점이 멀리 떨어지게 됌

똑같은 논리로,

원일점에서 v값이 커지면 궤도반지름이 증가함 -> 근일점이 멀리 떨어지게 됌

이걸 역으로 이용하면,'궤도반지름이 클수록 근일점에서 속도가 빠르다' 는 결론을 얻을 수 있음

이해안가면 공식에 숫자 넣어보면서 확인해보셈 직빵임

그러면 아래와 같은 결론을 얻을 수 있음

B가 궤도반지름이 더 크다 -> 근일점에서 B가 속력이 더 크다

이 2가지 메커니즘만 거치면 결과 바로 얻을 수 있음

아래 궤도도 바로 체크해보자 두 타원궤도의 교점에서 각각 누가 더 빠를거 같음?

당연히 두 곳에서 전부 2번행성이 더 빠르겠지

왜? 2번행성이 궤도반지름이 더 크니까

다시 말하는데 이해안가면 활력방정식에 변수 마음대로 정해서 넣어보셈

그러다보면 이해간다.

*활력방정식의 형태에 관해

활력방정식이 천천서랑 식이 다른데요? 라고 이의제기 충분히 할 수 있는데

내가 유도해본건 태양이 고정되어있고 지구가 움직이는 고등학교 과정의 궤도를,

천천서는 태양과 지구가 둘 다 움직이는 일반적인 상황을 가정했음.

서로 시작한 가정이 다른 걸 알아주셈

2-1. 달로켓의 원리 ( 개념 적용 )

그러면 달로켓의 원리를 통해서 방금 알았던 개념 복습해보겠음

아래와 같이 근일점에 로켓이 있다고 가정해봅시다.

이 상태에서 로켓의 운동방향은 y축에 나란함

즉, 로켓의 속력은 y축에 나란함

이제 로켓을 운동방향으로 추진시켜보겠음

로켓이 가속하는 모습임

여기서 로켓이 추진하는순간은 궤도 전체 운동시간에 비하면

굉장히 짧으니까 r은 변하지 않고 일정하다고 가정하겠음

그러면 저런 결과를 얻게 됌

따라서

근일점에서 속도가 클수록 더 먼 원일점까지 나아갈 수 있다.

이걸 원일점에서 시도하면

원일점에서 속도가 클수록 더 먼 근일점까지 나아갈 수 있다.

이런 결과를 얻을 수 있음. 심지어 원일점에서 가속 ㅈㄴ하면

근일점이 원일점보다 더 멀어지게 할 수도 있음

그러면 근일점이랑 원일점 바뀌는거지

3. 존재할 수 없는 궤도

아까 윗 사진에서 '속도에 따라 궤도의 모양은 정해져있다'

신경쓰였을거임 여기서 다룸.

고딩때 애들이 나한테 궤도모양 이렇게 생긴거 나올 수 있냐고

굉장히 많이 물어봤는데 그 형태를 정리하면 다음과 같음

그림은 각양각색으로 그리던데 기하학적 특징은 항상 저랬음

대답은 '존재할 수 없다.' 임

기하학적으로 존재할 수 없는 이유를 알려드림

바로 저 잘못된 궤도는 원일점이 2개라는거임 원일점은 무조건 1개다.

행성의 타원궤도는 타원이라는 성질을 만족하기위해 항상 태양에 대해

y축은 대칭적인 형태를 보이고 있고, x축으로는 비대칭적인 형태를 보임

그러니까 원일점 근일점은 x축에서만 발생할 수 밖에 없음

그래서 이렇게 헷갈리지 않게 외워야 할 것이 바로

'근일점, 원일점에서의 속도에 따라 궤도의 모양은 정해져있다' 임.

근일점에서 속도를 증가시키면 무조건 다음과 같이 궤도가 커짐

원일점에서 속도를 증가시키면 무조건 다음과 같이 궤도가 커짐

그러니까 각 조건에 따른 궤도모양은 저렇게 정해져 있다는거임

증명은 수학적 과정을 순서도로 재구성했으니까 보고싶은 사람은 보셈

4. 원궤도&타원궤도 / 타원궤도&타원궤도

그러면 이제 각 궤도를 서로 비교하는 작업에 들어가봄

먼저 원궤도&타원궤도부터 해보겠음

원궤도는 ㅈㄴ쉬우니까 대충 넘어감

모든 지점에서 속도가 일정한 궤도임

바로 타원궤도랑 겹쳐놓고 속도를 비교해보자.

보자마자 알 수 있듯이 타원궤도가 원 궤도보다 궤도반지름이 크지?

그래서 타원궤도가 훨씬 빠르다

다시 한번 더 강조, 모르겠으면 활력방정식에 넣어봐라 원 궤도에서도 활력방정식은 적용가능하다.

나머지도 이렇게 해보면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있음

짤에서 3번째 사례는 타원궤도의 근일점에서 속도와 원궤도의 궤도속도가 같을 때

모습임

내가 '근일점, 원일점에서의 속도에 따라 궤도의 모양은 정해져있다' 고 말했지?

보시다시피 특정 속도에서는 원궤도를 이루고 속도를 변화시키면

다시 타원으로돌아감

근데 내 기억으로 3번째는 평가원에 나온 적이 없다.

ㄱㄴㅎㅇㅍ 모고에서 이걸로 정답률 바닥찍게한 적이 있으니까

위 예시들은 알아놓는게 좋음.

이제 타원궤도&타원궤도 비교할건데 앞에서 한 번 했으니까

특수한 경우 1가지만 해보겠음

겹치지 않는 경우에서 위 그림만 제시했을때

각각 근일점에서 속도가 비교가능한가? 임

자 이쯤되면 감이 올거다.

어떻게 알아보겠노?

활력방정식에 넣어보는 거다.

물론 현장에서는 활력방정식에 넣지말고 결과만 알자

대입해서 연립하면 다음과 같음

다음과 같이 비교할 수 없음

ㅈㄴ 쓸데없어 보이는데 내가 이걸 왜 알려주냐면

애들이 이런상황에서 어떻게 푸냐고 물어보는데

풀 수 없는상황을 자주 가정해서 가져온다.

그러니까 니들도 확인해보고싶으면 이렇게 확인해보면 된다.

5. 시간단축 테크닉

지금까지는 정확하게 이해하는 방법을 알려줬음

그러면 이제부터는 아주 빠르게 푸는방법 갑니다.

참고로 너무 쉽거나 기본 테크닉만으로 풀수있는건 생략함

케플러는 계산을 븅신처럼내는게 트렌드지

원리를 꼬아내는 시도는 아직까지 거의하지않았음. 천천히푸셈

자, 이제 기본예제부터 난이도를 높여봅시다.

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(2014년 7월 물리I 6번 / 정답률 67%)

한번 ㄴ을 풀어봅시당

점 Q는 타원의 입장에서는 원일점,

원의 입장에서는 그냥 타원하고 접점이네요

1) '근일점, 원일점에서의 속도에 따라 궤도의 모양은 정해져있다'

2) B 궤도의 원일점에서 속도가 원하고 똑같으면 타원궤도가아니라 원궤도를 그려야함

3) 즉, 저 지점에서 서로 속도가 다르다. -> 정답캐치!

4) 근데 B궤도의 궤도반지름이 더 작다.

5) B궤도의 궤도에너지가 작다.

6) 그럼 Q지점에서 속도는 A가 훨씬 빠르다. -> 문제해석완료!

이렇게 첫 개념 떠올려서 연쇄작용하듯이 푸시면 됩니다.

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(2017년 4월 물리I 6번 / 정답률 63%)

ㄷ을 풀어보자

1) P와 Q는 공전반지름이 같다. (풀이 여러개니까 요령껏 찾으셈)

2) 그러면 P와 Q는 활력방정식에 의해 a, b에서 각각 속력이 같다. ㄷㄷ

3) 근데 P는 속도를 유지하는반면에, Q는 속도가 파악 내려갔다가 파악 올라간다.

4) 당연히 Q가 더 오래걸림

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이정도만 응용할줄 알아도 어지간한 수능판에서는 날아다닌다.

물리학 II 수능완성 함 둘러봤는데 이거 이상은 못나올 것 같다.

다음에는 열역학을 써볼까 싶음

수험생때 케플러만큼 많이 애들한테 알려준게 열역학이거든.

시간남으면 해보겠습니다.

예아~ 감사합니다.~

[LLSRK(llsrk6024)]

개추 - dc App

[익명(58.141)]

정성추

[대투엑(azargod123456)]

정성추

[익명(223.39)]

미쳤다 ㅋㅋㅋㅋㅋ분량역대급이네

[카가미쿠로(skydaiva)]

이 갤에서 가장 재밌는 글이었다 개추드림

[샤21(gene20022)]

와

[익명(223.39)]

이걸 고3때 애들한테 설명한게 레전드네 ㅅㅂ;;

[아르케이아(dnlaudwns1)]

ㅘ

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[익명(116.121)]

이거 수요일 밤까지 시험치고 작성끝낼건데 칼럼공지박아줄실 수 있나요

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[익명(116.121)]

오 감사합니다 ㅋㅋㅋ

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[익명(58.141)]

역시.. 나만 이상하다 느낀게 아니군

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[파자마그녀(kibg246810)]

개꿀잼이었다 감사합니다

[익명(58.141)]

밑에서 4번째 사진 오류임당 그런 궤도는 있을수가 없어~

[익명(116.121)]

위에서8번째쯤에 있는짤도 수정해야겠네요 감사합니당

[익명(27.177)]

천문학과임? 궤도에 ㅈㄴ관심많았나보노

[익명(223.33)]

그럼 로켓쪽이나 순수물리쪽이신듯

[익명(164.125)]

물리학과 학식충 재밌게 보고간다 ㄱㅅ

[익명(27.166)]

어제 질문했었던 학생입니다! 좋은 칼럼 정말 감사합니다.. 증명은 미개한 제 수준에서는 모르겠지만 활력방정식에 넣어보니 딱딱들어맞네요 후훗

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[익명(223.62)]

열역학 존버탄다 화이팅

[익명(27.177)]

뭐야 공지글이 왜 갑자기 여기로

[익명(223.52)]

잉 왜 공지에서 나왔니

[물투(211.36)]

선생님 마지막문제 ㄷ 이 이해가 잘안가는데 왜ㅜ당연히 p가 더빨라요??

[물투(211.36)]

아아 이해해써요 p는짧은거리를 v로 이동하는데 q는 더먼거리를 v보다 항상 작은 속도로 이동하니깐 그런거군요 ㅎㅎ 좋은자료 감사요!!

[멱함수(plkmjnij789456123)]

우으아.....감사합니다..........

[익명(49.167)]

https://m.dcinside.com/board/physics2/34772
고교과정
내로 행성의 역학적 에너지 증명임ㅁ 이런 방법도 있다고 알려주고픔..

[익명(211.36)]

'태양과 지구가 둘 다 움직이는' <<< 태양도 공전함?? - dc App

[샤21(gene20022)]

하는데 궤도가 ㄹㅇ ㅈ만함

[익명(117.111)]

지2하다 와서 ㅈ밥ㅋ

[익명(210.180)]

정성추