[📃칼럼] 수2 킬러 대비_다항함수 그래프의 고찰(극점과 변곡점 편)

[포물선돌림힘회..(pepethefrog1216)]

※아이패드를 잃어버려서, 그림이나 필기자료는 추후에 올리도록 하겠습니다. 양해바랍니다.

서론. 우선 평가원은 수험생들이 다항함수를 두 가지 관점으로 나눠서 해석하기를 바란다. 첫째는 대수적 관점이고, 둘째는 기하적 관점이다. 우리는 대수적인 개념(계수와 차수나 항의 개념 등)을 먼저 학습하고 기하적인 개념(대칭성, 주기성 따위의 그래프의 성질, 점근선, 양/음의 무한대로 x값을 보냈을 때의 극한(혹은 발산하는지의 여부) 등)을 학습시키기 마련이다. 많은 함수 학습서들은 이러한 절차를 따른다. 우리는 직관적으로 기하적 해석을 하는 것이 대수적 개념을 배우는 것보다 어렵게 여기는 경향이 있는 듯하다. 허나 수학2에서 요구하는 좌표평면 상에 상황을 연출하여 그래프에 대한 해석을 하는 것은 많은 수험생을 좌절시키곤 했다. 언제까지 평가원에게 당하고만 있을텐가? 서두가 길었다. 바로 본론으로 넘어가자.

Part0. 극점, 변곡점

삼차함수의 가장 큰 특징은 변곡점에 대한 대칭이다는 말을 많이 들어봤을 것이다.

혹시나 변곡점을 모르는 사람은 없겠지만, 변곡점은 함수 f(x)를 두 번 미분한 이계도함수의 함숫값이 0이 되는 지점을 일컫는다는 것을 일러두겠다.

혹시나 여기서 당신이 필자의 함정에 수긍했다면, 지금 당장 당신 머릿 속의 개념을 뿌리뽑아야 한다. 올바르게 정의하자면, 오목과 볼록의 교차점, 즉 그래프가 오목하다가 볼록해지는 경우, 볼록하다가 오목해지는 경우의 교차점을 변곡점이라고 한다. 극점도 마찬가지다. 증가하다가 감소, 감소하다가 증가하는 곳의 교차점이 바로 극점이다. 단지 도함수나 이계도함수의 함숫값이 0이 된다고 극점이나 변곡점임을 단정짓는 순간, 평가원의 함정에 걸린 것이 될테니, 조심하고 바로 극점과 변곡점의 성질을 알아보자.

다항함수에서의 극점과 변곡점을 이해하기 위한 추가적인 도구로, 도함수와 이계도함수의 함숫값을 통한 재해석을 연출하기 위해 간단한 예제를 준비했다.

쉽지만 상당한 사고를 요구하는 문제이다. 정답은 지금 못 올리니 양해바란다. 여기서 이 문제의 핵심은 (나) 조건의 해석이다. (나) 조건은 f'(a)와 f'(b)의 값이 같다는 것과 그 값이 음수라는 것에 있다. 그래프 상으로 연출했을 때 눈치챘겠지만, a+b/2에서 변곡점을 가진다. 즉, a+b/2에서 점대칭을 갖기 때문에 (나) 조건을 충족하는 것이다. 이에 대한 해설은 역시 추후에 아이패드를 되찾으면 올리겠다.

대충 설명하자면, (가) 조건을 통해 그래프의 개형이 울퉁불퉁한 형태로 나타남을 알 수 있고, 이 상황에서 a와 b에서의 미분계수가 같다는 것을 f'(a)=f'(b)라고 두면, 다항함수인 이차함수 f'(x) 상에서 x=a+b/2에서 선대칭을 이룬다는 것을 알 수 있고, 즉 원함수인 f(x)는 a+b/2에서 점대칭이 되며, 삼차함수 f(x) 상에서 점대칭이 되는 지점은 변곡점이 된다는 점을 이용해 추론하면, 그래프의 개형이 그려진다. 또한, f(x)의 최고차항의 부호와 f'(x)의 최고차항의 부호가 동일하다는 것을 이용하면, f(x)의 최고차항의 부호 또한 양수임을 알 수 있다.

우선 변곡점과 극점에 대한 칼럼을 마치도록 하겠다. 아무래도 변곡점이라는 개념이 극점이라는 개념보다 낯설기 때문에 예제 또한 변곡점을 이해하는 문제로 준비했다. 끝으로 급하게 작성을 마무리하게 되서 여기까지 읽어주신 분들께 죄송하다고 말씀드리고 싶다. 허나, 아이패드만 되찾으면 더욱 질 좋은 칼럼으로 재수정되며, 앞으로는 양질의 칼럼을 작성할 수 있도록 필자 역시 공부하겠다.

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[익명(39.113)]

개구리게이야 텀은 좀 두고 올려라

[포물선돌림힘회로(pepethefrog1216)]

? - dc App

[익명(223.39)]

오지마라면 오지 마라고ㅋㅋㅋㅋ - dc App

[이중슬릿의간섭무늬(doubleslit1801)]

삼차함수 점대칭의 중심을 굳이 변곡점이라고 해서 얻는 이득이 뭔가요

[포물선돌림힘회로(pepethefrog1216)]

변곡점의 성질인 이계도함수의 함숫값이 0이된다를 이용하면 변곡점이 점대칭 점이기 때문에 다른 좌표를 구하는데 수월합니다 - dc App

[이중슬릿의간섭무늬(doubleslit1801)]

그건 변곡점의 성질이 아니라 삼차함수의 도함수 f'(x)가 그 극점을 기준으로 선대칭이라서 점대칭 중심이 변곡점이 된 거잖아요? 일반적인 사차함수의 변곡점은 점대칭이 아닌 것만 봐도 점대칭중심이 변곡점보다 훨씬 명확한 표현이라고 생각하는데요.

[포물선돌림힘회로(pepethefrog1216)]

삼차함수 한정 변곡점이 점대칭점이라는 말입니다. 제가 표현을 모호하게 했네요ㅠ - dc App

[이중슬릿의간섭무늬(doubleslit1801)]

그럼 사차함수에서의 변곡점은 무슨 의미가 있어요? 삼차함수에서는 그냥 점대칭의 중심이라고만 말해도 되잖아요

[포물선돌림힘회로(pepethefrog1216)]

제가 말을 모호하게 해서 해석이 잘못된 것 같네요. 죄송합니다 - dc App

[이중슬릿의간섭무늬(doubleslit1801)]

아뇨 말을 모호하게 하신게 아니라..ㅠㅠ "변곡점"이라는 이름을 쓰는 이유를 물은 거잖아요,,,,

[포물선돌림힘회로(pepethefrog1216)]

삼차함수 점대칭점이 변곡점 맞는데요?? - dc App

[포물선돌림힘회로(pepethefrog1216)]

일단 지금 저 바빠서...나중에 게시글로 증명 올려드릴게요 - dc App

[이중슬릿의간섭무늬(doubleslit1801)]

제가 바보라는 뜻이 아니고,,, 지금은 약간 "인간"을 굳이 "동물"이라고 말하는 이유를 묻는 건데요

[익명(49.173)]

강사들도 많이들 쓰는 용어고 틀린말도 아닌데 문제가 있음?

[이중슬릿의간섭무늬(doubleslit1801)]

변곡점이라는 용어를 쓴다면 "오목성이 변하는 지점"이라는 정의가 의미가 있어야 하는데 오목성이 변화하는 것과 점대칭인 것에는 직접적인 연관이 없음. 또한 수2에서는 오목성의 정의 자체를 다루지 않고 직관적으로만 다루기에 더더욱 의미가 없음. 그나마 변곡접선이 오목성을 이용한 것으로 볼 수 있으나, "도함수가 이차함수라 극점에서 선대칭" -> "선대칭을 적분하면 점대칭" -> "두번 미분했을 때 점대칭의 중심에서 그 값이 0이 됨"의 대칭성 논리를 이해하는 게 현재 평가원의 추세(대칭성 강조)와 수2적인 사고에는 더 이득이라고 봅니다.

[익명(49.173)]

대충 봤는데 예제에서 f최고차항 계수 음수 아닌가?

[포물선돌림힘회로(pepethefrog1216)]

네 맞아요 - dc App

[은돌퍼플(gracias9)]

[익명(1.210)]

개씹허수년이 칼럼은뭔칼럼 시발아 ㅋㅋㅋㅋ