[📃칼럼] 자작문제 회전한 물체의 질량중심 좌표를 찾아서 풀기

[익명(1.236)]

https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=physics2&no=189812&search_head=50&page=1

문제는 이건데 오류가 좀 있음ㅈㅅ. 물체는 직사각형이고 초속도는 0, 선지가 2번부터 음수인데 양수로 생각해줘

나는 이 문제를 물체의 질량중심의 좌표를 구하는 방법으로 품

기울어지기 전 물체의 질량중심 좌표는 확실하니까 선형변환시켜서 좌표를 구함

https://www.youtube.com/playlist?list=PLZHQObOWTQDPD3MizzM2xVFitgF8hE_ab

갤에서도 누가 말한적 있는 3b1b 영상인데 선형변환 존나 재밌게 설명해주니까 안 본 게이 있으면 한 번 보셈

선형변환이 뭐냐면 각 축에 대응되는 단위벡터를 움직이고 모든 좌표에 대응되는 벡터를 움직이는거임

글로만 하면 뭔 소린지 모를테니 그림 섞어서 설명함

축에 대응되는 단위벡터는 이렇게 나타냄

좀 더 확장된 개념으로는 기저라고도 부르는데 유클리드 공간에서만 생각하자 대학생 형아들이 배우는 더 자세한건 몰?루

i햇이라고 부르고 i부터 시작해서 축 늘어날 때마다 ijk이렇게 표시함

i=(1,0) j=(0,1)이라고 하면

기하시간에 배운것 처럼

이렇게 내적하면 a=(p,q)라고 할때 q값에 상관 없이 항상 (p,0)으로 나오겠지

그러니까 모든 벡터는 각 축의 단위벡터와 내적한 것의 합으로 나타낼 수 있어

이렇게 말임

여기서 i햇을 (2,0)으로 바꾸고 위의 결과값 처럼 생각해보자

이렇게 나올꺼임. 그러니까 i햇이 변화하니 모든 벡터가 x축으로 2배 길어졌어

i햇이 (1,1)이 된다면?

몬가 복잡해 보이는데 잘 생각해보자

이건 좌표가 기울어진 것과 같음.

y좌표가 p의 영향을 받는데 x축으로 k만큼 가면 k만큼 y좌표가 더 증가한단 소리임

대충 이렇게 변환된거로 볼 수 있지

이렇게 축이 기울어지는 변환을 shear라고 함. 굳이 i햇이 (1,1)로 바뀌는거 말고도 그림처럼 휘어지는 변환은 shear야

그렇다면 회전변환을 기술할려면 어떻게 해야할까?

일단 변환표기를 일반화 해보자

3b1b영상을 보면 알겠지만 좌표를 이렇게 표시함

얘를 열벡터라고 하는데 말 그대로 열 한개만 쓰는 행렬로 벡터를 표기하는거임

행렬 은 [ ] 혹은 ( ) 안에 열과 행을 만들어 표기하는데 세로줄이 열, 가로줄이 행임

그러니까 밑의 x는 1열1행, y는 1열2행임

(x,y,...)벡터를 표시할때 이렇게 x는 위에 그다음 축은 그밑에 표시함

동그라미 있는 그림에서 두 열벡터는 i햇과 j햇을 표시한 걸로 볼 수 있겠지

그리고 좌표를 변환하는 것도 행렬로 나타냄

얘는 i햇을 (a,b)로, j햇을 (c,d)로 변환했을때를 나타냄

간격이 좀 작은데 다 떨어져 있는 2x2행렬임

얘를 전부 상수로 놓으면 차원이 감소하지 않는다는 전제하에 모든 평행선쌍이 변환후에도 평행하게됨

그래서 선형변환이라고 하는거야

만약 x,y의 값에 따라 달라지는 함수를 넣는다면 좌표에 따라 변환정도가 달라질거고 얘는 다변수미적분학에서 다루게됨

그렇게 해서 나오는게 벡터장이야

그럼 문제로 다시 돌아와서 회전변환을 기술해보자

얘는 60도 변환임

i햇은 x축과 60도를 이루기 때문에 길이 1을 유지해서 (cos60도, sin60도)

j햇은 y축과 60도를 이루기 때문에 길이 1을 유지해서 (cos90도+60도,sin90도+60도)가 되는거야

따라서 회전변환 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있음

이제 문제에 적용해 보자.

(가)상황은 변환을 적용할 것도 없이 그냥 계산이 되니깐 패스

(나)만 볼건데 기울어지기 전 물체에 좌표를 매겨주자

이제 위에 나온 60도 변환을 적용하면 됨

그리고 아까 처음 설명한 내적 계산을 좀 해주자

얘는 행렬의 내적이 아니라 행렬곱이라는 연산이야. 행렬의 내적은 벡터의 내적과 똑같은 방법으로 계산하기때문에

단위벡터를 분리했을때 내적으로 나타냈다고 얘도 내적으로 생각하면 안됨

이게 바로 (나) 상황에서 물체의 무게중심의 좌표가 되는거야

실과 물체의 접점의 좌표도 알아야 하니 똑같은 변환을 시켜주면 되는데 얘는 어차피 변환전 무게중심의 벡터의 2배니까

변환 후에도 2배임

중력은 수평면과 수직이니 x좌표를 꺼내서 돌림힘을 계산하고,

실의 장력은 수평면과 나란하니 y좌표를 꺼내서 2배하여 계산하자

그럼 이 두 돌림힘이 평형을 이루니까 장력을 F라고 하면

그리고 (가)에서 얻은 F(가)=(1/6)Mg

를 연립하면 답은 -(5번)임

솔직히 2차원 돌림힘이 나올지는 모르겠는데

이런 풀이도 생각해두면 꽤 유용할듯?

[진동수(f8r64drjd4xm)]

회전변환 수준이.. 전문가수준

[Aimyon(karendye12)]

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[익명(1.236)]

어떤부분이 이해 안감?

[익명(115.137)]

선형변환이 선형사상이랑 똑같은 거임? 내용 보니까 같은 거 같긴 한데 회전 사상도 배운 거랑 같고