[📃칼럼] 케플러 심화 - 실제 우주에서의 궤도

[펄서(whiteboxspier)]

안녕하새오

2020년 타원궤도를 시작으로

꾸준히 궤도칼럼을 싸지르고다니는 펄서입미다

오늘은 물리학II에서 가르치는 궤도와

실제궤도가 얼마나 다른지에 관해 고전역학의 범위에서 다뤄보갯읍니다.

쉽게 썼으니 항공우주분아냐 천문학에

관심있는 친구들이면 가볍게 읽어주새용

케플러의 3가지법칙

사실상 저희들이 물리2에서 배우는 궤도역학의 99%가 집약된 내용이고

전부라고 해도 과언이 아닐정도로 핵심적인 내용들입니다.

그리고 이 세 가지 법칙만써서 간단하게 천체의 궤도계산을 해보면

정확도가 90%를 웃돌정도로 가성비도 탁월한데요

한 번 케플러 3법칙으로 핼리혜성의 주기를 계산해 볼까용

핼리혜성의 궤도긴반지름은 17.8AU로, 상당히 멀리서부터 궤도를 도는 천체입니다.

(1AU = 지구와 태양의 거리)

조화의 법칙의 공식은 위와 같으며,

a = 궤도장반경 = 17.8AU

M = 태양질량

G = 중력상수

를 각각 대입해서 계산할 수 있습니다.

아니면 표준 중력변수를 이용하여 미리 계산된 GM값으로

더 편리하게 궤도계산을 할 수도 있습니다

아무튼 단위에 유의해서 계산을 해보시면

75.16년이 나오는데요, 실제 공전주기인 75.32년과 비교하면

오차가 0.21%정도로 매우 작은 것을 알 수 있습니다.

(천천서 2장 22번문제를 참조하시면 핼리혜성문제를 더 풀어볼 수 잇읍니다)

이렇게 오래 전부터 태양계에 정착하여 궤도를 돌고 있는 천체는

궤도가 매우 안정적인 경우가 많기 때문에

케플러법칙을 사용하면 매우 잘 들어맞습니다.

하지만 항공우주 분야에서 0.21%의 오차는

경우에 따라 연료소모량을 수십배 늘이거나 줄일 수 있는 중대사항이고

천문학이라면 말도 필요없을 정도로 큰 오차값입니다.

특히 인공위성이나 탐사선같이 우주공간에서

로켓추진으로 수시로 궤도를 바꾸는 물체는

케플러 법칙으로 계산하면 오차가 급격히 커지는데요

케플러 법칙은 2차원 평면 상에서의 궤도로,

실제로 행성들이 돌고있는 3차원 공간과는 다른 접근방식입니다.

하지만 역학적으로 안정된 궤도들은

지구 주위를 도는 달처럼 궤도가 기울어진 값이 계속 일정하여

그냥 궤도평면에서 돈다 생각하고 2차원으로 계산해도

아무런 문제가 없게됩니다.

하지만 그건 어디까지나 위 그림의 첫 번째나 두번째 공식처럼

뉴턴의 만유인력법칙에 의한 중력만을 고려했을 때 이야기이고,

실제 환경에서는 Orbital Perturbations 라는 개념이 등장합니다.

번역하면 궤도 섭동으로,

만유인력 이외의 힘이 작용하여 궤도가 변하는 것을 말하는데용

왼쪽그림의 지구 주위를 도는 물체의 궤적을 보면

원래는 타원궤도만 반복적으로 돌아야하는 물체가

계속 궤도가 바뀌고 있는 것을 볼 수 있습니다.

아래 매트랩으로 그린 궤도를 참고하여 알아봅시당

실제 환경에 가까워진 중력 모델에서

지구 주위를 도는 천체의 궤적을 하루 정도만 찍은 그래프입니다.

굉장히 깔끔하게 지구주위를 도는 것을 볼 수 있습니다.

이정도면 궤도평면이라고 생각하고 케플러 법칙을 적용시키면 들어맞습니다.

이번엔 10일 정도 궤도를 적분시켜본 결과입니다.

궤도가 원래는 위 그림처럼 타원궤도 한 줄만 돌아야 정상인데,

궤도가 이리저리 흔들려서 궤적이 굵어졌습니다

50일 정도를 적분시킨 결과입니다

원래 만유인력 법칙만을 적용했으면 하루정도만

그린 궤도와 동일하게 나와야하지만

실제 환경에서는 이리저리 궤도가 흔들리며

궤적이 아예 면을 그리고 있는 것을 볼 수 있습니다.

이로부터 알 수 있는 사실은

실제 환경에서는 궤도가 고정되어있지 않고

이리저리 3차원으로 흔들리고 있다는 것입니당

그리고 앞에서 보여줬듯 Orbit Perturbation 요소들은 힘으로 작용합니다.

즉, 가속도를 발생시켜서 궤도를 틀어버리기때문에

가속도를 적분하면 속도, 속도를 적분하면 변위,

시간이 길어질수록 변위가 누적되어서 점점 효과가 가시적으로 드러나게됩니다.

그래서 보통 수 년, 길면 수십 년 동안 임무를 수행하는

인공위성이나 탐사선들은 시간이 갈수록

뉴턴의 중력모델에서 계산한 결과에서 멀어지게 되고

케플러법칙으로는 들어맞지않게 됩니다.

주로 이렇게 궤도 변화에 영향을 주는 Orbital Perturbations들은 어떤 게 있을까용

일단 가장 흔하게 볼 수 있는 건 공기저항입니다.

우주에 올려놨다고 해서 갑자기 공기가 사라지지는 않습니다

특히 지구 주변을 돌고있는 인공위성은 미약하지만 공기저항을 받고 있고

공기저항은 밀도에 비례하지만, 속도의 제곱에 비례하기에

총알보다 더 빠른 속도로 도는 인공위성들은

아무리 밀도가 낮은 환경이라도 공기저항을 무시할 수 없습니다.

그 다음으로는 생소하시겠지만 J2 Effect입니다.

우리들은 이때까지 지구가 구형이라 생각하여

지구 중심에 중력중심이 있다 생각하고 계산했지만

실제로는 물2갤러들도 알다시피 적도가 좀 더 긴 타원입니다.

그래서 이로 인해 중력중심에 변화가 생기고 궤도가 틀어지게됩니다.

그 다음으로는 태양 복사압이 있습니다.

이는 인공위성처럼 질량이 작은 물체에 영향을 많이 주는데요,

최근 활발히 개발되고 있는 Solar Sail처럼

태양의 복사압( 태양에서 온 전자기파와의 충돌에 의한 힘 )을 이용한

탐사선이 이용되고 있을 정도로 복사압도 무시할 수 없는 힘입니다.

그 이외에도 정말 많은 Perturbations들이 있지만

유명한 걸 꼽으라면 역시 조수간만에 의한 섭동으로,

지구 주위를 도는 달의 궤도도 사실은 이 조수간만에 의하여

처음 달이 생겼을 때와 비교해 궤도장반경이 4배정도 늘어났습니다

마지막으로 흥미로운 섭동이라면

미지의 행성에 의한 Orbital Perturbations입니다.

해왕성은 천왕성의 Orbital Perturbations으로부터 역계산되어 관측되었고

명왕성도 해왕성의 Orbital Perturbations으로부터 역계산되어 관측되었습니다

아무튼 이런저런 이유로

케플러법칙과 뉴턴의 중력모델은 실제 환경에서 잘 들어맞긴하지만

실제 환경에서 적용하기 위해서는 이런저런 추가작업이

필요하다는 것을 알 수 있었슴미다

[Olfas(olfas)]

와

[모도(hj0903kb)]

[라플라시안(scefrg3481)]

념글 내가 보냈다 캬캬

[Fiant(srsr8765)]

잘봤어용 님 항공우주 전공이심?

[펄서(whiteboxspier)]

[Fiant(srsr8765)]

아무생각없이 항공과진학한인간인데 혹시 1학년때 뭐 공부할만한거 추천해주실수있나영?

[펄서(whiteboxspier)]

없?음? 공대는 선행학습할거면 선형대수랑 영어지

[Fiant(srsr8765)]

영어공부하기싫으니까선대공부해야겟따..... 아리가또

[진동수(f8r64drjd4xm)]

[익명(211.204)]

미춌다

[익명(125.177)]

이것이 섹스?