[📃칼럼] 심심해서 쓰는 뉴턴의 유체역학과 발전사

[펄서(whiteboxspier)]

*오개념이 생기지 않도록 먼저 뉴턴의 접근법은 부정확함을 알려드립니다.

때는 영국의 17~18세기,

16세기의 엘리자베스 1세와 영국 해군력의 활약으로

영국은 유럽 내에서 영향력을 조금씩 확대하고 있었음

아직은 간접지배의 양상을 띄고있지만 식민주의가 조금씩 싹을 트고 있었는데,

당시 유럽국가들간에 기싸움이 좀 심해서 전쟁을 자주함

유럽은 국가가 졸라많아서 육군만으로 다른 나라와 싸우려면

다른 국가들 땅을 많이 밟고 지나가야 했고,

그래서 결국 육군을 상륙시키기 위한 해군의 역할이 중요해지면서

해전으로 이어지는 경우가 많았음

덕분에 당시에는 해군력 = 국력이라는 인식이 팽배해 있었고,

전시에 함포에 대응하기 위한 전함의 기동성은 그중에서도 중대사항으로 떠오름

근데 국가적으로 전함을 기동성을 어떻게 하면 올릴 수 있냐?

라는 주제로 기술자들을 졸라 갈아넣어도 해결이 안됨

왜냐하면 당시 선박관련 유체역학 지식은 아르키메데스 원리 정도가 전부였음

그렇게 유럽 전역이 시발 어떻게 해야하노... 하는 상황에서

뉴턴의 프린키피아가 발간되었음

당시 뉴턴도 영국인답게 이 선박의 기동성 문제에 많은 관심을 가지고 있었슴

뉴턴은 고전물리학의 창시자답게

선박의 기동성에 관해 처음으로 '유체역학스러운' 접근을 시도했고

결과를 프린키피아 2권에 수록함

뉴턴이 주목한 것은 표면을 따라 흐르는 유체임

표면 주위에서 흐르는 유체들은 똑바로 나아가다가도

짤처럼 어떤 물체의 표면에 근접한 유체들은 그 표면을 따라서 흐름

그래서 뉴턴은 θ의 일정한 기울기를 가지는 선박 주위의 유체의 흐름을 그림처럼 모델링함

1. 유체 '입자'가 흐른다.

- 유체의 흐름을 유체 알갱이들의 흐름이라고 가정을 하고 시작함

후에 이 접근법은 오일러가 그대로 이어받음

2. Uniform Flow

- Uniform이라는 단어에서 알 수 있듯

유체 입자들은 '균일하게' 흘러들어옴

3. 운동량 보존

- 유체 알갱이들은 선박표면과 충돌하면

표면에 평행한 운동량은 유지하지만, 수직한 운동량은 선박에 주면서

유체 입자들은 선박표면에 평행하게 흐른다.

라고 설명했고,

선박에 가해지는 저항력은 사인의 제곱에 비례한다 라는 이론을 만들어냄

그리고 이 식은 정량적인 해석에는 적합하지 않은 근사식이지만

굉장히 직관적이었고 실제로도 어느정도는 비례관계가 성립해서

많은 해군에서 이를 채택하게 되었음

참고로 이 식은 선박에서는 틀린식인데... 정작 300년 뒤 개발된

초음속 전투기에서는 이 법칙이 맞아서 사용하고있음

다음에 다룰 기회가 있으면 써보갰습니다

그로부터 반세기 후, 프랑스의 물리학자 달랑베르트는

정부지시를 받아 이를 직접 실험했고

50~90도의 세타에서는 사인제곱에 비례하긴 하는데..

그 이하의 각도에서는 맞지 않음을 확인함

게다가 달랑베르트는 한가지 역설을 발견하게 되는데

뉴턴의 유체역학적 모델을 이용해서 당시의 최신 유체역학을 적용하면

Drag가 0이 된다는 사실이었음

그러니까 당시에 맞다고 생각되던 이론은 Drag가 있다고 주장하는데

정작 최신이론으로 그걸 계산하니까 Drag가 0이 된다?

이게 시발 뭔 말도안되는 일이지.. 라는

이론적 결론과 실험의 괴리는

달랑베르트 역설이라는 이름으로 정착되었음

당시 유럽 물리학계는 베를린에서 주최한

유체 저항이론에 관한 공모전으로 떠들썩했는데

심사위원 하고있으시던 오일러가 이거보고

저항이론을 내놓으라고 했는데 이론상 저항이 없다고 하니까

오일러와 달랑베르트 둘이 오지게 싸움

나중에 대수학에서도 둘이 참 많이 싸우심

그리고 1757년 오일러가 뉴턴처럼 가상의 유체입자를 이용해

유체의 운동방정식을 발표했고

현재 이 이론은 오일러 방정식이라는 이름으로

유체역학에 관한 굉장히 정확한 접근법 중 하나로 받아들여짐

참고로 이 접근법은 나중에 물붕이들이 배우면 알겠지만 접근법이 꽤 어려워서

뉴턴을 포함한 당대사람들이 왜 유체문제를 제대로 풀지 못했는지 이해할 수 있음

그런데 이 오일러의 이론에도 문제가 있었는데

여전히 이 이론으로 Drag를 계산해보면 0이나옴

오일러가 잘못했냐???

아니 오일러는 존나 정확하게 접근했고 잘못한거 없음

그래서 이 문제는 많은 과학자들이 논쟁을 거듭한 끝에

19세기에 가서야 비로소 원인을 확인하고 이론을 완성함

두 시대의 이론을 비교해보자

이 식은 오일러의 유체운동방정식임

유체에 F = ma를 적용시키면 이렇게 정리댐

이 식은 밀레니엄 문제로 유명한 나비에 - 스토크스 방정식임

19세기에 개발된 식이고 선박 주위의 바닷물 정도라면

유체의 운동을 완벽하게 모사할 수 있음

이 식도 유체에 F = ma를 적용시킨 결과인데,

오일러 식과 한가지 항을 빼면 완전히 겹침

바로 네모 안의 항인데 이 항은 '점성'에 관한 항으로,

왼쪽처럼 x=0에서 U의 속도로 임의의 평행판 위로

균일하게 들어온 유체의 흐름은

오른쪽의 속도분포처럼

x = L의 위치에서

표면 근방은 속도가 0이거나 U보다 작고

어느정도 거리가 있어야 U로 흐름

근데 뉴턴도 사실 점성 자체는 인지하고 있었음

표면을 따라 흐르는 현상도 점성에 의한 결과인데

문제는 이걸 증명할 접근법을 생각해낼 수 없었던거임

아무튼 최종적으로 나비에 스톡스 식의 등장으로 유체의 운동 자체는

완전하게 모델링 할 수 있게 되었음

근데 나비에 스톡스는 미분방정식이지 결과가 아님

이게 뭔소리냐면

진자의 운동을 시간에 대해서 표현하려면

운동방정식을 세워야함

그래서 이렇게 우리가 아는것처럼

운동방정식을 세워놓으면 미분된 항을 포함한 방정식이 나오게 되고

이를 미분방정식이라 부름

그럼 이를 시간에 대해 표현하려면?

물리2처럼 근사해를 구하는 방법도 있지만 어디까지나 엄밀한 해는 아니기에

이렇게 뺑이쳐서 일반해를 알아내야하고

이 일반해를 구할 때 비로소 미분방정식을 풀었다고 하는거임

그리고 미분방정식의 풀이법은 생긴거에 따라 정해져있는데

수능미적할때 어떤 적분형태가 나오면 이렇게 풀면 됩니다~ 하는것처럼

이렇게 생긴 미방은 이렇게 푸시면 됩니다~ 하고 딱딱 수학자들이 방법을 만들어놓음

문제는 이렇게 풀이가 알려진 미분방정식 형태가 몇개 없다는거임

그래서 나비에 스톡스도 이 문제에 도달했고

단진자처럼 F = ma로 운동방정식을 완성했는데

식이 이따구라서 선박에다 적용하면

안그래도 복잡한 식이 더 더 지랄같아지니까

풀 수가 없음

지금이야 CFD라고해서 물붕이들이 슈퍼컴퓨터나 랩실에 박아둔 컴퓨터 돌려놓고

애니 몇시간 정주행하고 와서 컴퓨터가 풀어놓은거 해석하면되지만

당시에 컴퓨터도 없고 더하기빼기 자동으로 해주는 계산기가 전부라

세계 2차대전까지는 이걸 그대로 풀기는 힘들었음

그래서 당시에는 물2 진자운동마냥 어떻게든 근사시키는게 최선이었고

정말 다양한 근사방법들이 등장함

특히 식이 복잡했던 전투기 개발분야에서 두드러짐

이렇게 유체역학은 굉장히 다사다난한 역사를 가지고 있습니다

개인적으로 고등학교 물리과정에서 유체역학 빠진게 좀 아쉬운 부분입니다.

[익명(wpffldpseld0515)]

개추를와바바바ㅏ바박

[익명(211.184)]

개추

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[펄서(whiteboxspier)]

아랫분들이 써주신다네요~

[강한적을벨땐한걸음앞으로(hsclb9h1542l)]

[Fiant(srsr8765)]

유체빠진거 저도 아쉬움 좋은글잘보고갑니다

[나는야물2러(aerospace2)]

개추

[지안늄(thkim773)]

개추

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[펄서(whiteboxspier)]

[에빱이(rh0817)]

이제 슬슬 Joukowski Transformation 글 써볼까

[익명(114.71)]

Kutta 조건부터 thin airfoil 에서 판넬이론까지 ㄱㄱㄱ

[펄서(whiteboxspier)]

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