열심히 썻는데. 올릴 곳이 없어 그래서 물2갤에
이 문제에서 쓰는 아이디어는 최대최소 정리
# 구간 [a,b]에서 연속인 함수 f(x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 가지고, 양 끝점의 함숫값인 f(a)와 f(b) 그리고 이 구간내에 존재하는 모든 극값들 중에서 가장 큰 값이 최댓값, 가장 작은 값이 최솟값이다.
문제 이해 )
f(x)는 x=p에서 변곡점을 가지는 삼차함수를 y축 방향으로 q만큼 들어올린 함수임
(가)에 의해 y=a는 항상 두 극값 사이에 있어야 하고 따라서 q<4p^3이 됨
풀이 )
p는 자연수이기 때문에 [-1,1]과 [-2,2]는 항상 f(x)의 오른쪽 극점(x=2p) 안쪽으로 들어옴
따라서 그림과 같은 상황이 됨
이때 |f(x)|의 최댓값은 양 끝값과 극점으로 좁혀지고
그림과 삼차함수의 개형을 고려하면 두개로 좁힐 수 있음
[-1,1]에서 최댓값 |f(-1)|을 가지면 [-2,2]에서 최댓값 |f(-2)|를 가지면서 조건에 모순
따라서 [-1,1]에서 최댓값 |f(0)|을 가지고 [-2,2]에서도 최댓값 |f(0)|을 가져야 함
정리하면 |f(-2)|=<|f(0)|이면 됨
계산)
계산해서 식을 정리하고 p, q가 25이하의 자연수임을 떠올리면서
정리된 식에서 4p^3은 삼차함수이고 4+6p는 일차함수니까
그래프가 언젠가는 한 점에서 반드시 만나겠구나 하는 확신을 갖고
P값을 대입해서 개수 세면 됨.
이 문제에서 쓰는 아이디어는 기울기
# f(x)-a/x-b 꼴의 함수는 점 (a,b)와 점 (x,f(x))를 잇는 직선의 기울기로 이해할 수 있다.
문제 이해)
x 왼쪽에서는 x=0, x=a를 지나는 위로 볼록한 이차함수
x 오른쪽에서는 (0,0)~ (x,ln(x+b))를 지나는 직선의 기울기를 나타내는 함수
이때 lnx를 x축 왼쪽 방향으로 b만큼 평행이동 시킨거고
b의 값이 커지면 접하는 순간의 직선 기울기는 커지고 접점의 x좌표는 작아진다고 이해하면 됨
풀이 )
원점을 지나는 직선을 이리저리 움직이다가
그 기울기가 알파가 되는 순간, 알파보다 작을때 교점 개수는 클때 교점 개수보다 한개 많다
이렇게 이해하고 이리저리 움직여 보는데
당연히 왼쪽 이차함수, 오른쪽 기울기함수와 직선이 동시에 접하는 순간을 먼저 보는거임
왜냐하면 그 순간이 경계일 테니까.. 그리고 놀랍게도 이때 조건이 성립함
조건을 만족시키는 다른 경우가 있는지는 수능이니까 확인해 볼 필요가 없음
기울기 = 평균변화율로 관계식을 하나 만들고
계산 )
오른쪽 b만 있는 관계식 하나를 풀어주면 ln2b가 나옴
여기서 a를 구하고 있으면 안목이 전혀 없는 거임
왼쪽 식을 잘 보면 ab^2=ln2b 인걸 알 수 있음
아무 이유 없이 ab^2을 구하라고 던져준 게 아님 당연히..
미적 기하 확통 공통 다 합쳐서 22번이 제일 좆같았음 나머지는 다 무난했고
예비문항 보니까 3점짜리가 매서워졌더라