[일반] 로렌츠 좌표변환과 4차원 물리량

[익명(211.224)]

새로운 좌표 변환

  

전자기파의 속도는 모든 좌표계에서 동일하다.

갈릴레이 좌표변환에도 적용이 되어야한다.

적용을 하면

모순이 일어난다.

이러한 모순이 일어나는 이유는 모든 좌표계에서 전자기파의 속도가 상수로 같기 때문이지만 이러한 사실은 반드시 포함 되어야한다.

처음으로 돌아가서 두 좌표계에서의 전자기파 속도는 같다는 것에 주목해보자

그럼 우리는 여기서 시간과 공간에 대한 식으로 분리 할 수 있다.

뉴턴은 시간은 모든 좌표계에서 동일하게 적용된다고 했으므로 문제가 없지만 공간에 대한 관계식이 문제가 있다는 것을 알 수 있다.

좌표변환 식에 의해서  

이기 때문에 

두 식은 성립하지 않는다.

하지만 전자기파의 속도가 같기 때문에 강제적으로 성립 하도록 만들어 줘야한다.

비례 상수 a 를 도입해서 새로운 관계식을 만들어보자.

그럼 놀라운 것을 발견 할 수 있다.

이기 때문에

새로운 공간의 관계식은

우리는 새로운 시간의 대한 관계식도 얻을 수 있었다!

그렇다 시간 또한 좌표계에 따라 달라지는 것이다.

새로운 차원 t 의 출현으로 거리 구하는 식을 다시 만들어야한다.

이식을 두고 민코프스키 4차원 시공간이라고 한다.

이 거리( 4차원에서는 간극)는 좌표계와 무관하게 모양이 똑같다.

이것을 두고 로렌츠 불변량이라 한다.

우리는 시간이 좌표계에 따라서 다르다는 것을 알았다.

 시간이 모두 다 다르므로 기준이 되는 시간이 필요하다.

이 때의 기준이 되는 시간은 정지 했을 때(위치의 변화가 없을 때)의 시간이라 정하고 이것을 고유시간 (propper time) 이라 한다.

기준이 되는 시간( 고유 시간)과 다른 좌표계의 시간 관계를 구해보자.

비례 상수 a.   보통 감마로 쓴다.

그럼 이 상수를 이용해서 새로운 좌표 변환식과 새로운 공간, 시간의 관계식을 만들어보자.

새로운 상대론적 속도 합성 공식을 구해보자

위 아래로 시간으로 나누면

라는 새로운 속도 합성 공식을 얻을 수 있다

v= c 일 때 v' = c 여야 하므로 맞는지 확인해보자.

4차원에서의 물리량들

새로운 차원을 이용하면 4차원 시공간속에서의 여러 물리량을 구할 수 있다 

4차원 위치 좌표, 벡터

4차원 속도

4차원 속도 벡터

4 차원 속도 스칼라

4차원 운동량 벡터

4차원 운동량 벡터 성분들

각 성분들에 이 식을 이용해보면

만약 물체의 속도 v가 빛의 속도 보다 현저하게 작다면  c>>>>>>>v  고전 극한을 이끌어 낼 수 있다

양변을 i와 c로 나누면

고전 역학에서의 운동 에너지가 나타나는 것을 볼 수 있다.

새롭게 찾은 에너지의 식들

따라서 4차원 운동량 벡터의 각 성분들은 운동량과 에너지 성분을 나타내는 것을 알 수 있다.

4차원 운동량 스칼라

운동량 스칼라식으로 부터 에너지와 운동량의 관계에 대한 아주 유명한 식을 이끌어 낼 수 있다.