[📃칼럼] 수능물리학2 회로 때려잡기 - 3편 축전기와 유전체

[익명(211.37)]

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축전기는 전하를 저장하는 전기소자야 다 아는 내용 같지만 오늘 하는 내용은 조금 어려워

축전기는 제대로 이해하려면 대학에서 미적분을 해야해 그렇다고 여기서 미적분을 할거는 아니지만

결론만 직관적으로 이해하도록 해줄게 그러니 이번엔 개념 설명을 봐봐 몰랐던 내용이 많을거고 해결되지 않은 질문이 해결될수도 있어

극판 두개 사이에 전압을 걸면 전하가 양 극판에 동일한 전하량이 저장돼 이때 저장되는 전하량은 -Q와 +Q 양쪽이 같으니 그냥 Q라고 할께

이 전하량 -Q와 Q는 어디서 온거냐? -Q는 전자가 많으까 생긴것이고 +Q는 전자가 상대적으로 적어서 생긴거야

그리고 저항이 저항값을 가지듯이 축전기는 전기 용량이라는 자신의 고유한 값을 가지고 있어 전기용량이 C인 축전기에 전압 V를 걸면

전하는 Q=CV만큼 저장돼

그럼 전기용량은 어떻게 결정이 되냐 저항값이 비저항, 길이, 단면적으로 구하듯이 축전기도 극판의 면적S, 극판 사이 간격d, 극판 사이에 있는 물질의 유전율ε로 구하게 되

C=ε(S/d) 이 공식은 직관적으로 외우기 쉽지 전하가 많이 저장하려면 극판이 넓을수록 좋고 거리는 가까울수록 좋지 그리고 그 극판 사이 물질은 유전율이 높을수록 좋겠네 극판 사이의 물질의 유전율 ε는 물질마다 다른데 진공도 유전율이 있어서 진공의 유전율은 ε0이야

저기 그림에서는 극판 사이가 진공이라 유전율이 ε0이지만 극판 사이에 유전율이 3ε0인 유전체를 놓는다면 전기용량이 3배 증가하는거지

여기까지가 교과서에 나오는 내용이야 하지만 더 깊이 들어가서 축전기가 어떻게 전하를 저장하는지 보자

회로를 위처럼 구성해서 스위치 A는 닫고 B는 열어

그럼 전류가 흐르면서 축전기에 전하가 저장돼

축전기는 끊어져있는데 무슨 전류에요? 상식을 버려! 축전기 사이로 전하가 이동할 수는 없지만 위 그림처럼 회로를 전하가 돌 수 있어

그러니까 충전되거나 방전되는 동안에는 축전기에 전류가 흐르는 것처럼 생각해도 좋아 실제로는 아니더라도

축전기의 전압강하는 V=Q/C라는 것을 기억해 그럼 처음에는 축전기의 전하량이 Q=0이고 전압강하가 없으니까 저항에 걸리는 전압이 그대로 V 야

그러니까 처음 전하가 안 쌓인 축전기는 연결된 도선처럼 생각해도 돼! 합선(쇼트)이 일어난 것 처럼 말이야

그럼 전류가 흐르면서 축전기에 전하가 쌓이지 그럼 축전기에 쌓인 전하 Q가 증가하면서 축전기의 전압강하가 증가하고 저항에 걸리는 전압이 감소하고 전류도 감소해

전류는 단위시간 동안 전하의 이동량 (dq/dt) 잖아? 전류가 감소하면 단위시간동안 축전기에 쌓이는 전하도 점점 줄어들고 충분한 시간이 지나면.............

위처럼 전하량이 Q=CV가 쌓이면 축전기에서 전압강하가 Q/C=CV/C=V니까 저항에 걸리는 전압은 0이 되

그래서 전류가 흐르지 않고 축전기는 완충되었라 그래 하지만 완충이라는 용어는 좀 별로야

왜냐하면 저기에 전류가 흐르기만 하면 더 충전될 수 있으니까 완전히 충전된건 아니지 단지 전류가 없는거지

이제 스위치 A를 열어

스위치 A를 열어도 변화는 없어. 극판 사이에 전하가 서로 끌어당기고 있으며 전기 에너지를 저장하고 있는 것이지

A를 열어도 축전기의 양극단에서 걸린 전압은 Q/C=V로 동일해

여기서 축전기에 저장된 전기에너지를 구해보자

전기 에너지는 E=QV로 구하지? 그러나 축전기는 충전되는 동안 Q와 V가 변해서 그냥 곱할 수 없어

처음에는 V=전기에 걸리는 전압=축전기의 전압 강하=0 그리고 Q=0 이야

전하가 충전되는 동안 V=Q/C를 만족하면서 Q가 0에서 CV까지 증가했단 말이지 그래서 아래처럼 정적분으로 구해야 돼

즉 저 정적분 값이 축전기에 저장된 에너지 E=CV제곱/2 가 되는거야

이제 회로에서 B를 닫아보자

축전기 양극단에 걸린 전압이 마치 전지처럼 역할을 해서 저항에 전압을 걸게 하고 전류를 흐르게 해

아까는 축전기의 전압 강하라는 말을 썼지만 이제는 축전기가 전지처럼 기전력을 만들어내는거지

근데 전지와는 다르게 전하가 소모되면서 Q가 감소하면 전압 V=Q/C 도 감소해

충분한 시간이 지나면 저장된 전하가 0이 되면서 축전기는 방전되었다라고 말하는거야

이제 정리해보자 축전기는 전류가 흐르면 충전되거나 방전돼

그리고 축전기는 전위차 V=Q/C를 만드는 역할을 하지

전류의 크기는 저항에 걸리는 전압이 결정하는거야 저항에 걸리는 전압은 전지의 전압과 축전기가 만드는 전압으로 구하는 거지

이런 회로를 생각해봐 처음 축전기에 저장된 전하량 Q=0일 때 축전기의 전압강하가 없어 그럼 a하고 b하고 전위가 같네

어? 전지를 보면 a하고 b의 전위차는 V가 되어야 할텐데 뭐지??? 즉 이건 합선(쇼트)가 일어난거야

이론상 순간적으로 전류가 무한이 돼서 전류가 축전기에서 왼쪽으로 흘러

그러면서 전하가 순식간에 충전되는 거야 결과적으로 얼만큼 충전되냐면 Q=CV 이야. 그러면 축전기의 전압강하V=Q/C가 전지전압 V과 같아져서 전류가 흐르지 않게 되고 충전도 일어나지 않지 충전할 때 저항이 없는 이런 회로가 기출에도 자주 보이니 참고해둬

합성 축전기라는 개념도 있는데 이건 생략 알아서 공부해봐

이제 기출로 가자

전기용량 계산식 C=ε(S/d)에 대입하면 전기용량은 (가)에서가 (나)에서의 4배야 ㄱ틀려

근데 (가)에서 스위치를 열고 유전체를 빼고 간격을 넓혔어 뭐가 일정하지? 바로 Q야 이게 핵심이야

저장된 전하량은 변하지 않아. 축전기에 저장된 전하량이 변하려면 전류가 흘러야 하거든 근데 연결이 끊겼으니 전류가 흐를리 없지

그럼 V=Q/C에서 C가 4배 줄었으니까 V는 4배 증가해 ㄴ맞아

전기에너지는 그냥 공식 E=CV^2/2=QV/2=Q^2/2C 쓰면 돼 QV/2가 좋네 Q가 같고 V가 4배이니까 이것도 (가)까 (나)의 1/4배야 ㄷ틀려

축전기가 직렬연결 되었네?

충전되는 동안 전류는 저렇게 흐르겠지 중요한 것은 저 세 전류흐름의 크기가 시간에 따라 항상 같다는거야

전류뭐라했지? dq/dt=단위시간동안 전하량의 이동이잖아 그러니까 직렬 연결한 B와 C에는 전하변화량이 항상 같아야해

그러므로 충분한 시간이 지난후 전류가 흐르지 않게 되었을 때

B와 C가 같은 것은 충전된 전하량이야

축전기에 걸리는 전압을 써보자

전압에다가 전기용량만 곱하면 전하량이 나오는거지

문제를 풀자

a>c 니까 B에 저장된 전하량 (가)에서 aC_B (나)에서 cC_B로 aC_B>cC_B 야

보기보자

A 양단의 전위차는 (가)에서 V (나)에서는 B와 V를 나눠서 걸리므로 V보다 작지 ㄱ맞어

충전 전하량은 (가)에서 B=C (나)에서 B=A이고 (가)가 (나)보다 크니까 ㄴ틀려

a+b=c+d=V 인데 a>c이면 b<d이야 근데 충전 전하량은 거꾸로

bC_C>dC_A 야 부등호가 어케 역전됬냐 C_C > C_A니까 ㄷ틀려

풀자 C=V=1로 문자생략해

걸리는 전압을 a, b라고 써. 전압강하가 합쳐서 a+b=1이고 충전 전하량이 같으니까 a=2b, 연립하면 a=2/3 b=1/3 ㄱ맞어

(나)에서 II에 있었던 2b 전하량이 이동하면 II, III에 저장된 전하량은 2b-x와 x야 2b-x=2x라니까 x=2b/3=2/9네

그럼 (나)에서 전하량은 II, III에서 각각 4/9, 2/9야 ㄴ맞어

II, III에 걸린 전압이 같아야 전류가 안흐르잖아 그럼 II에 걸린 전압은 V=Q/C=2/9고 III에서 E=QV/2=2/81 ㄷ맞네

C=V=1로 문자생략했으니까 전위자 전하량 전기에너지 단위가 맞는지 마지막 점검 V, CV, CV제곱 맞네 답 3번

문자 생략 안해도 좋을거 같아

이문제는 충전된 전하량이 E=0이므로 A=C, B=D야

왜냐하면 E가 오른쪽으로 x만큼 전류가 흐를때는 A하고 D가 각각 C와 B보다 x만큼 전하가 더 쌓이고

E가 왼쪽으로 x만큼 전류가 흐를때는 C와 B가 각각 A와 D보다 x만큼 전하가 더 쌓이는데 마지막에는 E에 쌓인 전하량이 0이니까

A와 C랑 B와 D는 누가 더 쌓이고 말 것 할 것 없이 A=C, B=D가 되는거지

아니면 E의 전위가 항상 0이라고 해서 E가 없다고 생각하면 직렬 연결된 A=C, B=D가 되는거야

ㄷ이 맞네

일단 전기용량을 쓰고 전압을 적어. 전압이 왜 저렇게 되냐면 충전된 전하량 Q=CV가 A=C이 되려면 저렇게 3:1가 되야해

E에서 쌓인 전하량이 0이니까 E에서 전압강하(전위차) V=Q/C가 0이지? 그럼 저 빨간 두 점의 전위가 같아 그러면 전압강하(걸리는 전압)는 A=B, C=D겠네

ㄴ이 맞어

그래서 B와 D의 전압을 적고나면 전하량이 B=D니까 D의 전기용량은 6인걸 알지 ㄱ이 맞는거야

ㄷㄴㄱ 거꾸로 풀었네

다음문제

이 문제는 옛날문제라 유전상수가 나오는데 유전상수가 k인 유전체의 유전율은 kε0 이라고 알면 돼

A, B의 전기용량을 1이라 두고 전하량이 같아야하니까 전하량을 1이라 하고 걸리는 전압도 1, 1이라고 둬 V=1+1=2 네

여기서 유전체를 넣어보자

갑자기 B의 전기용량이 k로 증가했어 유전체를 넣으면 전기용량이 보통 증가해

그럼 뭐가 달라졌지? Q=CV는 동일해야 하니까

B에 걸리는 전압이 V=1에서 V=1/k로 갑자기 작아져 그럼 전류가 어떻게 흐를까

전위는 a-c=V 야 근데 a-b를 전압강하로 계산하면 a-b = 1+1/k < V 가 되버려 즉 b와 c 사이에는 전위 공백이 존재하지

그래서 b->c 방향으로 순식간에 무한 전류가 흘러

그럼 위처럼 전류가 흐르면서 A, B는 전하량이 x가 증가하는거지

직렬연결된 A, B는 처음의 전하량이 같았으면 전류가 그뒤로 어떻게 흐르든 전하량이 같을수밖에 없다는걸 알 수 있어

왜냐하면 직렬연결된 A, B에 동일한 전류가 흐르니까

ㄱㄴ풀자

A에서 전하량 증가하면 전위차(전압) V=Q/C도 증가했지 ㄱ틀려

A 전위차 증가하면 B 전위차가 감소해야지 B 전위차는 V=Ed 이니까 V 감소하면 E도 감소했겠지 ㄴ 맞어

이제 x를 구하기 보다는 새로운 전하량 1+x=X를 구해보자

A와 B의 전압강하의 합이 V=2가 되어야 하니까 X/1+X/k=2, 새로운 전하량은 X=2k(k+1)이 돼

이제 그림에 전압을 표시하면

(가)에서 총 전기에너지는 CV제곱/2의 합 1/2+1/2=1

(나)에서 총 전기에너지는 CV제곱/2의 합 2k/(k+1) ㄷ틀려

이 문제는 합성 축전기로 풀면 더 간단하다던데 한번 그렇게 풀어봐

이걸 합성 축전기로 풀어보자 I, II 합치면 2C 짜리이고 전하량은 2CV겠네. 그걸 I, II가 동일하게 나눠가져야 하니 Q0=CV

그리고 a에 연결하면 전압이 같아질때까지 전하 이동량을 x라 하면 (2CV-x)/2C=x/4C 풀면

x=(4/3)CV I에서는 이거 절반만큼 사라졌을 테니 Q0-(2/3)Q0=(1/3)Q0

역대 최고 오답률 65% 축전기 문제를 보자

처음 전기용량과 전압 C=V=1 이라고 해

(가)에서 A하고 B는 전하가 1만큼 저장돼

(나)에서 A, B의 전기용량이 k가 돼

A는 전류가 흐르고 전하량이 바뀌어서 전위가 V가 되어야 하니까 전하량이 k가 되고 UA=Q^2/2C=k^2/2k=k/2

B는 전류가 안흐르니까 전하량은 1 유지되고 UB=1/2k

UB/UA=1/k^2 1번

물로켓 시절이라 그런가 이딴게 오답률 1위야

원래 기출만 풀려고 했는데 기출이 너무 쉬워서 고난도 대비가 안될거 같애

수특에는 저항과 축전기를 섞어서 내더라고 그래서 저항도 같이 있는 문제를 가져와봤어

스위치를 열어서 완충시킨 상태의 걸린 전압은 어떻고 완충시킨후 스위치를 닫고 완충하면 걸린 전압이 어떻게 되는가 살펴보자

직렬 연결된 축전기에 저장된 전하량이 같아야 하니까 Q=CV는 동일해서 저렇게 전압이 걸리고

저항은 전압분배법칙에 따라 전류가 같도록 걸리겠지

이제 스위치를 닫어

전하량의 이동을 고려해서 푸는 것도 좋지만 완충된 결과를 생각해서 푸는 것이 제일 좋아

완충되었다는건 축전기의 전하량이 안바뀌고 다시말해서 전류가 안흐른다는 얘기잖아

두개의 축전기에 전류가 안흐르니까 가운데 스위치가 있는 곳에도 전류가 안흘러

그럼 그냥 저항만 보고 전위를 계산해도 돼

마지막으로 직렬회로는 항상 같은 전하량을 저장하지 않는 예시도 보여줄께

처음에 이렇게 회로를 구성하고 스위치를 a에 연결해서 완충한다음 b에 연결하여 완충할거야

처음 a에 연결하고 완충시키면 저렇게 전하량 CV가 저장되 이제 b에 연결해

그럼 전류는 저렇게 흐르는데 전하 이동량을 x라고 하면 C에 저장된 전하량은 -CV+x, 2C에 저장된 전하량은 x가 돼

C에 저장된 전하량이 왜 +CV가 아니라 -CV라고 설정했냐면 저 전류의 흐름을 오히려 돕는 쪽으로 전하가 처음에 저장되어 있었기 때문이야

두 축전기의 총 전압 강하가 2V이므로 (-CV+x)/C + x/2C = 2V 풀면 x=2CV야

결과적으로 b에 연결하고 완충시키면 C, 2C에는전하량 CV, 2CV가 저장되는거지 직렬연결인데 전하량이 다르지

그럼 전압강하가 각각 V, V가 되서 전류가 흐르지 않고 완충된 상황을 나타내지

마지막으로 전하량 보존 법칙도 확인해보자 C의 오른쪽 극판과 2C의 왼쪽 극판에 저장된 전하량의 합이

처음에는 +CV+0=+CV

나중에는 -CV+2CV=+CV

전하량 보존법칙도 만족해 모든게 들어맞는 상황이 되었네

처음 직렬 축전기의 전하량이 같을 때에만 나중에 축전기에 저장된 전하량이 같아져

직렬 축전기에서 같은 건 저장된 전하량이 아니라 전하량의 변화량(dq/dt=전류)이야

그러니까 위에서 내가 낸 문제를 방전된 C와 2C에 2V 전압을 가한 상황과 동일하게 보면 안된다는거야

함정 문제로 나오면 킬러가 되겠지?

이것으로 회로 3부작이 끝났어 저항과 소비전력과 트랜지스터 그리고 축전기까지 이것들을 정확히 알고 있어야 킬러가 나와도 맞출 수 있어 수고했어

[라포르테(castleonthehill)]

[학추로고대쌩재수로설대(gkrcnfhrheo)]

개구리에겐 없는 꾸준함을 가지고 있군.

[익명(182.215)]

이새끼 개구리아님?

[학추로고대쌩재수로설대(gkrcnfhrheo)]

ㄴ딱봐도아님.

[은돌퍼플(phybeube)]

[학추로고대쌩재수로설대(gkrcnfhrheo)]

쥬쥬몇

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[학추로고대쌩재수로설대(gkrcnfhrheo)]

초반에 비틱말투 때메 비호감 이미지 쌓음

[익명(211.37)]

그건 개소리고 벡터풀이 깠다고 대치키드들이 억까하는거임

[Ruf(eunsoo0876)]

딴건모르겠고 마지막건 ㄹㅇ 유익한데? 처음봄

[익명(211.37)]

직렬=전하량같음 무지성 암기하면 큰일나는 유형임

[Ruf(eunsoo0876)]

근데 저게 교과서에 나옴?

[익명(211.37)]

전지만 없을 뿐이지 기출에는 많이 나옴. 축전기 충전시킨거를 방전된 축전기와 직렬연결시키면 전하량 보존으로 풀어서 두 축전기에 저장된 전하량이 달라도 문제 없다고 생각하잖음. 내가 낸 유형은 전지가 있어서 좀 낯설게 느껴지는거지 다 아는내용임

[익명(211.37)]

저항문제는 그 전에 뭘했는지 상관없이 딱 그상황만 가지고 풀면 되지만 축전기는 저장된 전하량까지 고려해서 풀어야 한다는 걸 알려주려고 만든 문제임

[익명(49.167)]

물리학2 갤러리의 보배

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[익명(14.63)]

걸리는 전압을 a, b라고 써. 전압강하가 합쳐서 a+b=1이고 충전 전하량이 같으니까 a=2b, 연립하면 a=2/3 b=1/3 ㄱ맞어 (나)에서 II에 있었던 2b 전하량이 이동하면 II, III에 저장된 전하량은 2b-x와 x야 2b-x=2x라니까 x=2b/3=2/9네 그럼 (나)에서 전하량은 II, III에서 각각 4/9, 2/9야 ㄴ틀려

[익명(14.63)]

II에 저장된 전하량은 (2/9)CV 라서 ㄴ이 틀림

[익명(14.63)]

b=1/3은 p에 연결하기 전 걸린 전압이고 p에 연결하기전 전하량은 전압x전기용량=2b=2/3임 여기서 p에 연결하면 II, III의 전하량 변화량을 x라 두고 두 전압이 같아질때 x를 구하면 x=2/9가 나와서 II에 저장된 전하량은 2/3-2/9=4/9

[익명(14.63)]

쓰고보니 다풀고 마지막에 틀렸네 II, III에 저장된 전하량이 4/9 2/9니까 ㄴ맞음

[익명(14.63)]

전압이 같은걸로 푸는 게 아니라 전하량이 몇배인지 알려준거로 푸는거임

[익명(14.63)]

ㄴ에서는 II 물어보는데 III하고 헷갈려서 ㄴ틀렸다고 쓴듯 ㄴ맞음답지도 ㄴ맞다고되어있음

[익명(138.199)]

유익하네

[익명(218.147)]

세 개 다 정독했음 ㄹㅇ 고맙다

[세리아(kasumi170123)]

10번 3C 6C 4C 있는 축전기에서 3C 6C에 저장된 전하량이 각각 CV면 전위차는 V/2가 돼야되는데 전지전압이 V인거하고 모순되는것 같은데 이거 어케 해결해야됨

[익명(1.248)]

https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=physics2&no=602012&search_head=30&page=1

[익명(115.137)]

마지막 거 좀 이상하지 않음? 고립도체 내에서 전기장의 크기는 0이어야 하는데 저런 식으로 다른 전하량이 저장되면 전기장의 세기가 0이 안되잖음. 일시적으로는 충전된 전하량이 다를 수 있어도 결국에는 같아져야 하는 거 아님?

[suckjae(troop9756)]