[📃칼럼] 돌림힘 문제에서 회전축을 어떻게 잡아야 하는가?

[Olfas(olfas)]

※초보자용, 고인물들한텐 도움안됨

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수능 돌림힘 문제는 주어진 상황이 힘의 평형과 돌림힘의 평형을 모두 만족하고 있다는 점만을 이용하여 해결할 수 있습니다.

τ=r×F, ∑F=0, ∑τ=0. 돌림힘은 힘과 거리의 곱, 힘이 평형을 이룬다, 돌림힘이 평형을 이룬다. 문제에 사용되는 개념은 이게 끝입니다.

그러나 돌림힘 문제를 처음 풀 때에는 범람하는 변수의 바다에서 허우적대다가 시간을 낭비하는 상황이 잦습니다.

문제를 해결하는 데에 필요하지 않은 장력, 수직항력 등을 직접 구하거나, 그런 물리량을 식에 넣고 계산하는 등이 대표적입니다.

필요없는 물리량을 구하면서 문제를 해결하는 것은 직진하면 될 길을 굳이 빙 돌아 가는 것과 같습니다.

이런 일은 대부분 회전축을 잘 잡지 못했기 때문에 발생합니다.

회전축을 잘 잡으면 계산량을 줄일 수 있습니다. 문제를 빨리 해결할 수 있다는 말입니다.

따라서 회전축을 잘 잡는다는 것은 돌림힘 문제를 잘 푼다는 것과 다름없습니다.

특히 '어떻게 하면 계산을 덜 하고 이 문제를 풀 수 있을까' 라는 생각을 의식적으로 하는 것은,

물리적 직관을 키워 주어, 비단 돌림힘뿐만 아니라 물리학II 전반의 실력을 키우는 데에 큰 도움을 줍니다.

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먼저 돌림힘 문제를 볼 때면 그림을 단순화시켜 그리는 작업부터 해 주세요.

예를 들어 이런 그림이 있다고 한다면(막대의 무게와 물체의 크기를 무시합니다)

이렇게 생긴 그림으로 대략 단순화를 시켜 주십사, 하는 것입니다.

직접 그림에 화살표를 그리든, 머릿속으로 저런 그림을 떠올리든 괜찮습니다.

상황을 빠르게 파악하는 데에 큰 도움이 됩니다.

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1. 어디에 잡아야 하는가?

회전축은 위에서 말했듯이, '계산을 최대한 줄일 수 있게' 잡는 것이 기본입니다.

대부분은 힘의 작용점에 잡게 됩니다. τ=r×F에서 r=0일 때 τ=0이 되어 그 지점에서 작용하는 힘은 계산할 필요가 없기 때문입니다.

기출문제와 함께 설명해 보겠습니다. 140918입니다. 이 글의 기출문제는 물리학II의 기출문제라는 말이 없다면 물리I의 기출문제입니다.

막대와 줄이 대여섯 개씩 나오는 후기 물리I의 기출문제에 비교하면 초라하기 짝이 없지만, 올해 물리학II의 기출문제도 다 이 꼴입니다.

물체의 무게를 W, 손이 줄을 당기는 힘의 크기를 T라고 합시다. 우리가 구해야 하는 물리량은 T입니다.

일단 힘의 평형을 이용한 식을 세울 수 있습니다. T = 5 + 10 + W에서 W = T-15입니다. (단위는 편의상 생략합니다)

이제 어디든(정말 어디든) 회전축으로 잡고 돌림힘의 평형을 이용한 식을 세워 봅시다. 저는 막대의 왼쪽 끝을 회전축으로 잡겠습니다.

추와 막대, 물체의 무게는 시계 방향의 돌림힘을, 손이 줄을 당기는 힘은 반시계 방향의 돌림힘을 각각 막대에 작용합니다.

돌림힘이 평형을 이루므로 3×5 + 4×10 + 6×W = 5×T입니다. W = T-15를 대입하고 정리하면 T = 35입니다.

답은 나왔습니다. 그러나 비효율적인 풀이입니다. 어떻게 하면 효율적으로 풀 수 있을까요?

회전축을 막대의 중심 또는 추의 무게의 작용점에 잡는 것도 괜찮아 보입니다. 막대나 추의 무게를 식에 넣어 계산할 필요가 없어지기 때문입니다.

그러나 가장 효율적인 방법은 물체의 무게의 작용점을 회전축으로 잡는 것입니다.

우리가 구하고자 하는 물리량은 손이 줄을 당기는 힘, 즉 T입니다. 우리가 알지 못하는 물리량은 T와 W입니다.

그런데 W의 값은 알 필요가 없습니다. 그렇다면 W가 작용하는 위치를 회전축으로 잡아도 문제될 것이 없습니다.

다시 강조하겠습니다. τ=r×F에서 r=0일 때 τ=0이 되어 그 지점에서 작용하는 힘은 계산할 필요가 없게 됩니다.

W가 작용하는 위치를 회전축으로 잡아 봅시다. 추와 막대의 무게는 반시계 방향의, 손이 줄을 당기는 힘은 시계 방향의 돌림힘을 각각 막대에 작용합니다.

3×5 + 2×10 = 1×T이므로 바로 T=35임을 구할 수 있습니다.

만약 이 문제에서 구해야 하는 물리량이 물체의 무게였다면? 손이 줄을 당기는 힘의 작용점을 회전축으로 잡으면 되었겠지요.

이렇게 '구할 필요가 없는 힘' 이 작용하는 위치를 회전축으로 잡는다면 계산량을 줄일 수 있습니다.

예제인 181115입니다.

그림을 간단하게 표시한다면 무엇이 구할 필요 없는 힘인지, 어디를 회전축으로 잡아야 계산을 줄일 수 있을지 보입니다.

축바퀴가 헷갈릴 때에는 축바퀴의 중심을 회전축으로 놓고 돌림힘의 평형을 적용한다고 생각해도 괜찮습니다.

160920입니다.

이번에는 무게나 질량이 아닌 거리를 물어보고 있습니다. 별 다를 바는 없습니다. 그러나 꽤 어려운 문제입니다. 지문을 잘 읽어 주세요.

무엇이 구할 필요 없는 힘인지 보인다면, 그 작용점을 회전축으로 하여 돌림힘의 평형을 이용한 식을 세우고, 차근차근 물리량을 구해나가면 됩니다.

그 과정에서 돌림힘 문제를 푸는 데 사용되는 기본은 돌림힘의 평형도 있지만, 힘의 평형도 있음을 꼭 잊지 말아 주세요.

그리고 마지막에 회전축을 잡을 때 하나만 생각해 주세요. (3L-x)를 식에 넣고 계산하는 것이 편할지, x를 식에 넣고 계산하는 것이 편할지 말입니다.

200919입니다.

160920와 유사한 문제이지만 약간 더 쉽습니다. 역시 힘의 평형을 잊지 말아 주시길 바랍니다.

이 문제도 마찬가지로 (2L+x)나 (6L-x)를 식에 넣고 계산하는 것이 편할지, x를 식에 넣고 계산하는 것이 편할지 생각해 주세요.

이 문제는 어떨까요?

210615입니다. 물리학II 기출입니다.

문제에서 T와 F의 비율을 물어보고 있네요. 아까와 같은 방법으로 T의 값도 F의 값도 구할 수 있을 것 같습니다.

실제로 T의 작용점을 회전축으로 하면 F의 값을, F의 작용점을 회전축으로 하면 T의 값을 구할 수 있네요. 문제가 풀렸습니다.

혹시 다른 곳을 회전축으로 잡아 보는 것은 어떨까요?

막대의 가장 왼쪽, 물체가 매달린 위치를 회전축으로 잡거나 막대의 중심을 회전축으로 잡고 돌림힘의 평형을 이용한 식을 세워 봅시다.

각각 8mgL + 8FL = 5TL, 4mgL + TL = 4FL라는 식이 나옵니다.(g는 중력가속도)

둘 중 어느 것이든 힘의 평형을 이용한 식 T = F + mg + 2mg와 연립방정식을 풀어야 하겠습니다. 아까보다 계산이 귀찮아졌습니다.

더 계산을 줄일 수는 없는 걸까요?

이번에는 막대 제일 왼쪽에서부터 거리가 8/3L인 지점에 회전축을 잡아 보겠습니다. 뭔가 이상한 숫자지만, 일단 해 보겠습니다.

물체의 무게와 T는 반시계 방향의, 막대의 무게와 F는 시계 방향의 돌림힘을 각각 막대에 작용합니다.

8/3mgL + 7/3TL = 8/3mgL + 16/3FL이라는 식이 나옵니다. m이 들어간 항이 사라지네요? 7T = 16F만 남습니다.

어떻게 이런 일이 가능할까요? 왜 막대 제일 왼쪽에서 거리가 8/3L이 되는 지점을 회전축으로 설정했더니 m이 들어간 항이 사라지는 걸까요?

그 지점은 아무렇게나 잡은 것이 아니기 때문입니다.

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2. 어떻게 잡아야 하는가?

회전축을 저 위치에 잡은 이유를 설명할 수 있는 방법은 크게 두 개가 있습니다. 사실 제가 두 개만 압니다.

첫 번째는 무게중심이고, 두 번째는 힘의 분배와 합성입니다.

1) 무게중심

질량중심은 어떤 물체의 질량이 하나의 점에 모여있다고 생각할 수 있는 점입니다.

2차원의 경우에는 원이나 정다각형, 3차원의 경우에는 구나 정다면체처럼 균일한 도형에는 직관적인 '중심' 이 질량중심의 위치입니다.

무게중심의 정의는 이와는 다릅니다. 그러나 수능 돌림힘 문제에서는 질량중심의 위치가 무게중심의 위치와 같습니다.

하나가 아니라 여러 개의 물체의 경우에도 그 무게중심이 어딘가에 존재합니다. 문제를 풀 때는 이 점을 이용하게 됩니다.

예를 들어 봅시다.

무게중심의 위치를 알고 있고, 저 무게들의 합이 무게중심에 작용한다고 합시다.

윗 상황과 아랫 상황은 돌림힘 문제를 풀 때(=힘의 평형식과 돌림힘의 평형식을 세울 때) 완전히 동일한 상황입니다.

이를 이용해서 여러 개의 힘을 마치 하나의 힘처럼 취급하여 돌림힘 문제를 풀 수 있습니다.

W를 무게, r이 막대 맨 왼쪽에서부터 무게가 작용하는 점까지의 거리라고 합시다.

무게중심의 위치는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

즉, 무게중심의 위치는 무게와 거리의 곱들의 합을 무게의 합으로 나눈 것과 같습니다.

예를 들어 봅시다.(막대의 무게는 무시합니다)

이런 상황에서, 무게중심의 위치는 다음과 같이 계산됩니다.

따라서 무게중심은 막대 맨 왼쪽에서 15/4m만큼 떨어진 곳에 존재합니다.

무게중심에 작용하는 힘의 크기는 무게의 합들과 같습니다.

따라서 저 상황은,

이 상황과 같습니다.

돌아가 봅시다.

물체와 막대의 무게중심의 위치를 구해 봅시다. 물체의 무게는 mg, 막대의 무게는 2mg입니다.

막대 맨 왼쪽에서부터 물체의 무게의 작용점까지 거리는 0이고, 막대의 무게의 작용점까지의 거리는 4L입니다.

따라서 무게중심의 위치는 막대 맨 왼쪽에서부터 (0×mg + 4L×2mg)/mg + 2mg = 8/3L입니다.

이 상황이,

이 상황과 같습니다.

이제 막대에 작용하는 힘은 세 가지입니다. 왼쪽에서부터 8/3L 지점의 3mg, 5L 지점의 T, 8L 지점의 F.

우리가 구해야 하는 값은 T와 F의 비입니다. mg는 필요없습니다.

다시 떠올려 봅시다.

"τ=r×F에서 r=0일 때 τ=0이 되어 그 지점에서 작용하는 힘은 계산할 필요가 없게 됩니다."

왼쪽에서 8/3L만큼 떨어진 지점을 회전축으로 잡게 되면 mg가 포함되지 않은 식을 얻게 됩니다. 바로 T와 F의 관계식을 구할 수 있습니다.

처음에 사용한 방법과 별 다를 바가 없는 것 같다는 생각이 들기도 합니다.

T와 F를 각각 회전축으로 잡아 계산할 때에는 식을 2개 얻었습니다. 식 하나에서 F의 값을 얻고, 다른 하나에서 T의 값을 얻었습니다.

무게중심을 사용한 방법도 마찬가지로 식을 2개 얻었습니다.

막대와 물체의 무게중심의 위치를 구하는 식과, 8/3L 지점을 회전축으로 잡고 돌림힘의 평형을 이용한 식이었습니다.

그러나 무게중심의 위치를 구하는 식은 상대적으로 계산이 편리합니다.

막대 가장 왼쪽을 기준으로 잡고, 단순히 무게와 거리를 곱한 것을 모두 더한 것을 무게의 합으로 나눠 주기만 하면 됩니다.

여기서는 둘이지만, 물체가 서넛 이상이 되면 무게중심의 위치를 구하는 계산이 돌림힘의 평형을 이용한 식의 계산보다 빠릅니다.

몇 가지 예제를 봅시다.

예전에는 무게중심만을 이용하여도 풀 수 있는 문제가 자주 출제되었습니다.

요즘은 그런 문제가 출제되지 않지만, 여전히 무게중심의 개념을 알고 있다면 문제를 유연하게 해결하는 데 도움이 됩니다.

151120입니다.

생각해 볼 만한 요소가 많습니다.

'평형이 깨지기 직전의 상황' 은 기출에서 수도 없이 다루어졌습니다. 이번 수능 19번도 그런 상황을 가정한 문제였습니다.

평형을 유지하기 위한 x의 최댓값이라는 것은 x의 값이 커지다 보면 물체의 평형이 깨진다는 소리입니다.

평형이 깨질 때 어떻게 될 것인가. 평형이 깨지기 직전의 상태는 어떨 것인가. 그 때에 회전축을 어떻게 잡아야 할 것인가.

그런 문제들을 마주쳤을 때에는 먼저 위의 질문들의 답을 고민해 보고 풀어 보시길 권합니다.

이 문제는 무게중심을 이용한 풀이도 한 번 해 보시길 바랍니다.

무게중심이 x에 대한 종속 변수로 표현되네요. 무게중심이 어디까지 갈 수 있을까요. 어느 선을 넘으면 평형이 깨지게 될까요.

161120입니다.

유명한 문제입니다. 151120과 비슷한데, 이제 최솟값까지 물어보네요. 마찬가지로 생각해 봅시다.

x가 최솟값보다 작아지면 빔이 어떻게 될 것인가. 최소일 때는 어떤 상태일 것인가. 그 때에 회전축을 어떻게 잡아야 할 것인가. 최대일 때도요.

무게중심을 이용한 풀이를 하려고 하는데, 빔 위에 놓인 물체의 생김새가 신경쓰이네요. 저렇게 생긴 물체의 무게중심은 어디에 있는 걸까요.

이 문제들은 하나의 막대의 평형이 깨지는 상황만을 다루고 있기 때문에, 물체의 평형이 깨질 때의 상황에 대한 감을 잡는 연습을 하기 좋습니다.

상황이 변하면, 회전축을 잡아야 하는 위치가 달라집니다. 중요합니다.

2) 힘의 분배와 합성

무게중심을 이용한 풀이에서 여러 개의 힘을 하나의 힘으로 취급하여 문제를 풀 수 있다는 것을 보았습니다.

이런 상황과,

이런 상황이 같습니다.

같다고요?

그렇다면,

이런 상황과,

이런 상황이 같을까요?

같습니다.

따라서 하나의 힘을 여럿의 힘으로 쪼개어 계산하는 것도 가능합니다.

몇 개로 쪼개든 원래 상황과 같다면 상관없습니다. 그러나 수능 문제를 푸는 데는 두 개로만 쪼갤 수 있다면 충분합니다.

이런 상황을,

이런 상황으로 만들 수 있습니다. 무게중심을 구해 보면 막대 맨 왼쪽에서 a만큼 떨어진 곳에 크기가 F인 힘이 작용한다는 것을 확인할 수 있습니다.

일반화해서 쓰니 복잡해 보이지만, 가까운 곳에 더 많은 무게가 실린다는 직관적으로 받아들일 수 있는 사실만 기억하고 있으면 충분합니다.

예를 들어 봅시다.(막대의 무게는 무시합니다)

이런 상황과,

이런 상황이 같습니다.

다시 한 번 생각해 봅시다. 힘 하나를 둘으로 쪼갤 수 있습니다. 그렇다면 힘 둘을 하나로 합칠 수도 있다는 뜻입니다.

각각 양 끝에 작용하는 힘의 비율이 얼마인가요? b:a입니다. 여기서 F만큼의 힘이 작용할 지점은 막대를 a:b로 '내분' 하는 지점입니다.

따라서 서로 다른 두 지점에 작용하는 힘 크기의 비율이 x:y라면,

그 두 지점을 y:x로 '내분' 하는 지점에 두 힘의 크기를 합한 만큼의 힘이 작용한다고 생각하고 문제를 풀 수 있습니다.

n개의 힘을 합성하는 일반적인 경우인 무게중심법과 비교해, 이것은 힘을 두 개만 합성하는 특수한 경우입니다.

막대 맨 끝을 기준점으로 할 필요도 없고, 힘과 거리의 곱을 모두 더한 것을 힘을 모두 더한 것으로 나누는 계산보다 빠릅니다.

특수한 경우는 계산이 편리해지는 일이 많습니다. 힘을 두 개만 합성할 때는 이렇게 계산하는 것이 편리합니다.

다시 돌아가 봅시다.

이제 더 편하게 계산할 수 있습니다. 물체의 무게와 막대의 무게의 비율이 1:2입니다.

그렇다면 물체의 무게가 작용하는 지점과 막대의 무게가 작용하는 지점 사이의 거리 4L을 2:1로 내분한 지점에 3mg가 작용한다고 보아도 같은 상황입니다.

그 지점은 막대 맨 왼쪽에서부터 8/3L 떨어진 지점이고, 그 지점을 회전축으로 잡는다면 m이 포함되지 않은 T와 F의 관계식을 얻을 수 있습니다.

문제를 풀 때엔 언제나 '무엇을 구해야 하는가' 를 머릿속에 떠올리고 문제를 풀어 주시길 바랍니다.

이 문제에서 답으로 요구하는 물리량이 T-F였다면? 이 둘의 관계식만으로는 문제를 해결할 수 없었을 것입니다. 다른 방법을 사용해야 합니다.

그러나 수능 물리에는 답으로 두 물리량 사이의 비율을 요구하는 문제가 더 많습니다.

처음에 언급했던 바와 같이, 기출을 풀다 보면 '어떻게 하면 계산을 덜 할 수 있을지' 생각해 볼 기회가 많이 찾아옵니다.

예제인 201119입니다.

막막한 상황입니다. 막대가 세 종류 있습니다. 질량이 전부 다릅니다. 심지어 세 층으로 쌓여 있습니다. 가장 위층부터 시작합시다.

수직항력이 작용하는 위치를 회전축으로 잡고 돌림힘의 평형을 이용할 수도 있겠지만, 힘을 분배해 볼 수도 있겠다는 생각이 듭니다.

210919입니다. 물리학II 기출입니다.

힘의 평형과 힘의 분배만으로 해결할 수 있는 문제입니다. t=0일 때 받침대 A와 물체가 같은 연직선상에 존재한다는 조건을 어떻게 해석하면 좋을까요.

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