[📃칼럼] 스압/교과외) 열역학 제 1법칙 - (2)

[익명(116.121)]

[컴터로작성함]

스압) 열역학 제 1법칙 - (1)

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피드백, 지적주시면 판단 후에 수정하겠습니다

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4) 각 과정의 '정량적' 계산

4-1) 정적과정

4-2) 정압과정

4-3) 등온과정

4-4) 단열과정

4-i) 번외 - 단열 특수식 유도

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4). 각 과정의 '정량적' 계산

4-1). 정적과정

가장 쉬운 정적과정부터 해보면

일은 이동거리하고 일을 곱한 값이니까 다음처럼 나옴

정적이니 피스톤 이동거리가 0이고 일도 0임

이 때, F가 어떤 형태인지가 중요한데

F는 상수가아니고 , s값에 따라 달라지는 함수임

그림의 우측에 표기했듯이 F(s)가 가장 괜찮은 표현인거같음

4-2). 정압과정

그 다음으로 어려운 정압과정 해볼거임

정압과정은 그림처럼 P가 일정한 과정임

이제 이 과정을 일로 표현하면

F = PA를 대입해서 그냥 PV가 되는데, 여기까지는 다 알거니까 생략

4-3). 등온과정

이제 등온과정을 해볼게

등온과정은 앞에서 한 것과 조금다르게, P, V 둘다

변화하는 과정이니까 식을 바로 세우기가 좀 애매해

만약 V만 변한다 이런식이면 그냥 s에 대해 적분때리지만

P, V가 동시에 변하면 s에 대한 함수가 2개니깐 말이야

그래서 PV = nRT를 이용할거야

등온과정이니 T가 일정해서 그림과 같은 식이 성립하고

F = PA를 넣은 다음

Ads = dV로 정리해

그리고 마지막으로 PV = nRT = (상수) 이므로

P를 V에 관한식으로 나타내면 구할 수 있어

생각보다 간단함

물론 형태보면 알겠지만 문제에서 써먹긴 어려운형태임

그냥 이런게 있구나~ 해

4-4). 단열과정

사실 단열과정의 일량이 제일 애매하고 자주물어봄

마지막으로 단열인데, 단열은 좀 많~이 복잡함

이걸 고등학교 교육과정 위에서 설명하려면 꽤 돌아야하니까

일단 4-4에서는 조건을 먼저 소개하고 유도할게

단열과정은 그림처럼 PV = nRT말고 2개의 식이 더 성립해

2개식의 증명은 4-i에서 소개할테니까 보고싶으면 보셈

참고로 V 위에 올려놓은 감마값은 그냥 실수임

감마값이 = 1일때는

등온과정과 같으니까 등온과정과 일량이 같게 구해지고

감마값이 =! 1 일때는

식이 좀 달라지는데, 별로 안어려우니까 스스로해보셈

4-i). 번외 - 단열 특수식 유도

위에서 말한 PV^r = constant 하고 TV^(r-1) = constant' 유도할거임

일단 이걸 설명하려면 2개의 추가적인 개념이 필요함

바로 '정적 비열' 하고 '정압 비열' 인데 간단함

각각 [정적과정에서의 비열 / 정압과정에서의 비열] 임

고체의 비열은 위에있는것처럼 그냥 퉁치는데 유체는 2개로 나누는거임

그리고 T값, 즉 온도에따라서 각 비열값이 달라짐

각 비열이 온도에 대한 함수임

물론 비열이 온도에대한 함수긴한데 변화율이 극히 미미해서

여기서는 상수로 가정하고 유도할거임

그냥 열역학에서는 이상태에서 그냥 유도해버리는데

고등학교 과정에서 설명하려면 다른 비열을 정의해서 써야함

몰 비열이라고 그냥 따로 정의해서쓸게

말 그대로 비열이 단위질량 물질을 1도 올리는데 필요한 열량이면

몰 비열은 '단위몰 당 물질을 1도 올리는데 필요한 열량'으로 정의할게

예를들면 이런식이지

일반적인 비열이 Q = cmT로 나타낸다면

이건 Q = cnT로 나타내는거임

그럼 정적 몰비열하고 정압 몰비열을 정의할게

정적 몰비열은 일반적인 비열의 정의에서 Q값을

열역학 제 1법칙에따라 정의할 수 있어

이정도는 다 할 수 있을거니까 그림 참조하고

정압 몰비열도 쉬우니까 그냥 스스로해봐

그러면 이렇게 정압 몰비열과 정적 몰비열이 각각 정의되는데

누가봐도 서로 관계식이 있겠지?

그래서 이런식으로 상수들을 따로 정의해줘

각 상수들의 쓰임새는 내용이 길어지니까 생략할게

마지막으로 이렇게 단열과정식 써주면 유도할 준비는 끝남

먼저 델타값을 미소변화로 다시 표현해주고

du를 써먹을 수 있게 정적비열을 이용해서 표현해줘

이번엔 우측항에 dW를 건드릴거임

항상 그랬듯이 PAds -> PdV라고 표현해주고

PV = nRT 조건으로 P를 V에 관한 식으로 나타내줘

그럼 n이 약분되고 식이 남는데 정적비열값은

얼마인지도 모르니까 적분해도 써먹을수가없어

그래서 이렇게 변형시켜서 다른상수들로 표현하는거야

그러면 양변을 Cv로 나눠서 상수를 대입하면

미분식 하나가 완성되는거야

이제 이걸 적분하면되고 사진이 부족해서 못넣었는데

T2V2^(r-1) = T1V1^(r-1) 이므로 TV^(r-1) = constant 가 성립하고

PV = nRT를 대입해서 적당히 정리하면 PV^r = constant' 가 성립함

[익명(61.247)]

감마가 1이 어떻게 되누 ㅋㅋ