[📃칼럼] 물리학2 돌림힘 시리즈 1편 - 1차원 돌림힘 문제

[익명(203.243)]

어떤 파딱이 삭제해서 복구함

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돌림힘은 킬러로 나올 수 있지만 최근 허접을 면하지 못하는 파트야 먼저 1차원부터 풀자

이글 읽기 전에

수특, 교과서 1단원 또는

리둡칼럼 2023_Theme 1.평형과 안전성 >> https://gall.dcinside.com/m/physics2/37691 

부터 보고 와라 당연히 알겠지

역학적 평형 조건은

1. 힘의 평형식

2. 돌림힘의 평형식

인데 1은 어려울 거 없지만 2는 축을 어디로 설정하느냐가 중요해

문제를 보자

위 문제에서 힘의 평형식 쓰면 아래처럼 돼

위로 당기는 파랑힘과 아래로 당기는 빨갱힘의 합이 같지

그리고 x를 구하는게 문제야

이제 돌림힘 평형식을 쓸건데 축을 정해야해

대부분의 경우 축은 가장 왼쪽 끝으로 하는게 간단하고 좋아 (돌림힘 1차원문제는 축을 점이 아니라 직선으로 긋는다)

돌림힘 평형식은 5x=15+40+6(x-15), x=35 쉽다

축을 가장 왼쪽 끝 또는 오른쪽 끝으로 정하면 좋은 점이

돌림힘이 축 왼쪽오른쪽위아래가 시계인지 반시계인지 생각할 필요 없이

무지성으로 위에것 아래것끼리만 더해주고 같다는 식 세울 수 있어서 편해 가능하다면 그렇게 해라

근데 축은 아무데나 해도 된다고 했으니까 이렇게 축을 설정하면 어떠냐?

이렇게 축을 설정하면 돌림힘 평형식은 15+20=x, x=35

처음하고 뭐가 다르지? 축을 저렇게 물체에다가 놓으면 물체가 막대를 당기는 힘을 몰라도 돼

그래서 힘의 평형식을 쓰지 않고 돌림힘의 평형식으로만으로도 x를 구할 수 있어

여기서 기억해야할 중요한거!

1. 돌림힘 문제는 힘의 평형식과 돌림힘 평형식으로 푼다

2. 어떤 문제는 축을 잘 설정하면 어떤 힘은 몰라도 돼서 돌림힘 평형식만 써서 풀 수 있다

그러니까 축을 잘 설정하면 시간 단축이 돼! 하지만 모든 문제가 그렇진 않다는 건 명심해

너무 축을 어디로 할 까 고민하면 그게 더 시간손해니까

몇십 초안에 축을 잘 설정해서 얻는 이득이 안 보이면

그냥 축은 무지성으로 왼쪽 끝으로 설정하고 힘의 평형식을 써도 좋아 풀이는 동등해

다음문제

T하고 F를 각각 구해야 하네 축 어디로 하면 이득일지 바로 보이니?

저길 축으로 하면 바로 T를 구할 수 있어

8+8=3T, T=16/3

그다음 F는 돌림힘 평형식이 아니라 힘의 평형식으로 구하면 돼

F+1+2=16/3, F=7/3

답은 T/F=16/7 쉽지? 무지성으로 하면 연립방정식인데 그것보단 시간이 좀 단축되

다음문제

바닥이 공 받치는 힘이 f라 하고 힘을 다 써봐

힘의 평형식 쓰면 4f=7+3-f, f=2야

이제 축 어디로 하면 좋지? 여기서 머리굴려봐야 이득이 어딨어 그냥 왼쪽 끝이 좋지

2+20+8=8+4(2+x), x=7/2

기둥이 떠받치는 힘이 모두 같데 그럼 다 f라 해

힘의 평형식 세우면 4f=1+f+2+1+f, f=2

왼쪽 끝을 축으로 하면 3/2+2+6=2x+3+4, x=5/4

너무 쉬웠지? 이제 좀 어려워진다

평형이 깨지는 문제를 풀어볼거야

힘표시를 해

아래힘은 빨간색으로 합이 7이니까 D가 떠받치는 힘은 7이 되어야해

근데 위치는 어디지? 모르잖아 그러니까 파란색 힘의 위치를 y라고 해

그럼 왼쪽 끝을 축으로 돌림힘평형식은 2(x+0.5)+1.5+10=7y 이야

결국 y를 정해야 x를 구하겠네. y는 D가 떠받치는 힘이라 아무데나 파랑힘이 있을 수는 없고 1<y<2 여야하거든?

근데 y가 클수록 x가 크잖아 그래서 y가 최댓값 y=2일 때가 x가 최대야 그때는 x=3/4 이게 정답

이걸 다른 관점에서 볼까? 돌림힘 평형식을 y에 대해 정리하면 y={2(x+0.5)+1.5+10} / 7 이거든?

이때 y를 A,B,C의 무게중심이라고 해 리둡칼럼 보면 무게중심 공식 나와

교과서에도 나오지만 역학적 평형이 깨지는 상황은 무게중심이 받침면을 벗어나는 순간이야

그래서 x가 증가하면 무게중심 y가 증가하다가 D의 받침면 오른쪽 끝 y=2일 때가 마지노선이고 더 벗어나면 깨지게 되는거지

즉 무게중심이나 질량중심 풀이가 내가 푼 방식에 스며들어 있고 동등한 풀이인거야 동등하면서 내 풀이가 낫지 무게중심 풀이는 분수나와서 별로야

힘 표시해

표시된 힘은 전부 양수니까 0<F<1이야. 힘의 평형식을 써서 받침대가 받치는 힘은 2-2F고 위치는 몰라 x라 해

그럼 돌림힘 평형식은 2-2F+5=(2-2F)x+8F

실전에서는 걍 x=3 넣으면 F=1/4 나오고 x=4넣으면 F=-1/2 나오니까 F=1/4가 최대라고 하겠지만

정확하게 풀면 x=(10F-7)/(2F-2)이고 F가 커지면 x가 감소하여 x=3일때가 마지노선이고 x=3일 때 F=1/4이지

이 문제는 무게중심으로 못풀어 왜냐하면 받침대가 떠받치는 힘을 제외한 힘들이 전부 아래를 향하지 않기때문이야

다음문제

A부터 봐

구하는 답은 x고 y구할거라서 축을 저렇게 했어. 그럼 시계돌림힘=반시계돌림힘

1.5=x+y, y=1.5-x 야 그리고 힘의 크기는 양수니까 1.5-x>0, x<1.5야 참고만해

그다음 C를 봐 4.5-x가 어딨는지 모르잖어 위치를 어.... y라 하자 잠시 썼던 y는 잊어 2<y<4겠지

12.5-5x+6=(4.5-x)y

방금 전 문제랑 비슷하네 도대체 x가작아지면 y가 커질지 작아질지 모르겟어 무지성대입하자

y=2일 때 .... x가 대충 1.5보다 크네 걸러

y=4일 때 x=0.5 이게 답이야

이걸 다른 관점에서 보자. 사실 이 문제는 평형이 깨질 때 시계방향으로 기울지 반시계 방향으로 기울지를 통해 2번 대입하는 수고를 덜 수 있어

x가 작아지면 2.5-x가 커지지, 그럼 C는 반시계로 꺾이게 되겠지. 그래서 C는 왼쪽 받침대에서 모든 힘을 받치고 오른쪽 받침대는 받치는 힘이 없어.

빠르게 풀어 a, b를 구하면 a=(6x-1)/4 , b=(5-10x)/4

x가 변하면 하나는 커지고 하나는 작아지네 a=b일때 차가 최소가 되니까 x=3/8

힘 슥슥

A 막대 무게는 2t고 t=d=1이라 하셈

식세우면 x+7+x+22+x+27+x=28+33+15, x=5

그냥 B를 축으로 (가)(나) 두 번 세우면 답나와 F1=5/2 , F2=10/7 4번

새로운 문제를 보자

막대기가 2개야 이럴땐 두 막대기의 돌림힘 평형식 세울 때 축을 같게 하는것이 좋아

영희가 A를 떠받치는 힘을 f라 하고 힘의 평형식 써서 힘표시하면

아우 복잡해 아래힘=위힘 으로 돌림힘 평형식 세우면

A에서는 10x+25=5f

B에서는 5f+250=280

둘을 더해봐

10x+275=280, x=1/2

어 뭐야? f가 쏙 사라지네 우연인가? 우연이 아니야! 아래를 봐라

아까랑 뭐가 다른거지? 이거는 A하고 B를 따로 생각하지 않고 하나의 막대처럼 생각한거야. 그래서 f라는 내력은 사라지는거지

그럼 돌림힘 식 세우면 10x+25+250=280 오오오 A의 돌림힘식과 B의 돌림힘 식을 더한게 나와

이런식으로 긴밀해 보이는 막대가 있으면 두 막대기를 하나의 막대기로 보아도 좋아

다만 기억해야 할 것은 두 돌림힘 식을 더해서 하나의 식으로 만들었기 때문에 정보량의 손실이 생긴거야

그래서 합친 1개의 식으로만으로도 풀릴 수도 있지만 안 풀리면 머뭇거리지 말고 반드시 A또는 B에 대한 돌림힘 식도 써야해

정리하면

1. A돌림힘식과 B돌림힘식을 더한 A+B돌림힘식은 두 막대기를 하나로 본 돌림힘식과 동등하다

2. 두 막대기를 하나로 본 돌림힘식은 정보량이 손실 되었으므로 주의해야 한다

3. 혹여 합쳤다가 문제가 안 풀리면 정보량이 적다고 판단하고 A돌림힘식 또는 B돌림힘식 중 하나를 같이 세워 연립해야 한다

2번때문에 함부로 두 막대기를 합쳐서 보면 그것만으로는 안 풀릴 수도 있기 때문에 주의해야해

그냥 누가 칼들고 협박하지 않는 이상 따로 세우는 것이 좋아

보기만해도 두 막대기를 합치고 싶고 그래? 그럼 합쳐보자. 두 막대기 합쳐서 힘의 평형으로 힘 다채우면

근데 여기서 더 진행이 안되고 막히게 돼...

방금 말했잖아 합치면 정보량이 줄어들어서 막힐 수 있어

어줍잖게 스킬쓰지말고 근본으로 돌아가서 두 막대기를 쪼개서 보자

두 막대기를 쪼개서 보니 합쳐서 보았을 때 생략했었던 A와 B 사이에 작용하는 내력인 3-f가 나타나

B 왼쪽 끝에서 돌림힘식 세우면 3-f+3=15-6f, f=9/5

A 왼쪽 끝에서 돌림힘식 세우면 x+3=9-3f, x=3/5

다음 수능 문제

이건 좀 심한데? 4개 막대기 합치고 싶다.. 축은 어디가 좋을까

대충 찍고 파란색힘은 M1+3M2+4m 이겠지? ...(식을 열심히 세운다).. 아 막혔어~~ 어쩌냐 ㅠㅠ

막힌 이유는 알지? 아까랑 똑같어 정보량이 손실되었어. 수능날 스킬충에게 평가원이 천벌을 내린거야

확실한 위의 막대부터 차근차근 해결하자

축을 저기로 세우면 파란색 힘의 크기는 M1/4이고 축에 있는 곳에서 받치는힘은 힘의 평형식에 따라 3M1/4야

여기서 M1=4라고 하면 1, 4네

이제 2층 막대기 2개에 대해 각각 돌림힘 평형식 세우면 2M2=3+m, 1+m=M2 연립하면 M2=2, m=1이야

남은건 계산 7x+8+5(x+6)=56, x=3/2

그럼 막대 합치기는 쓰레기냐? 아니

p와 q가 당기는힘은 전체 무게 6mg를 반씩가져서 3mg로 같어

C와 D의 위치를 x,y라해 그러면

10+6+2x+y=30

2x+y=14

x가 -1 감소하면 y는 +2가 되어야 하네 ㄱ맞어

x=y일 때 x=14/3 이니까 오른쪽 끝에서 16/3이고 ㄴ맞어

x=3일 때 y=8임 B에 붙은 오른쪽실을 축으로 r장력계산하면 1+3=8T, T=1/2

막대 합치기는 어차피 돌림힘식 2개를 쓴 다음 더한거 랑 동등해서

그 과정이 꼭 필요한 문제는 처음부터 합쳐서 보면 좋아

방금 2문제는 두 막대기 사이에 실이 2개가 있는데 합치면 상쇄되거든

그러니까 알수 없는 돌림힘은 타우로 써서 저렇게 식을 더하여 해결하거나 처음부터 합친 막대기로 봐도 좋다는거지

A에 작용하는 수평성분힘이 평형이라서 저렇게 장력은 3t 와 t가 돼

실끊기전에 힘평형식 4t=8, t=2이고

돌림힘 평형식 2x+4y+5+4=6+18

실끊으면 힘평형식 4t=4, t=1이고

돌림힘 평형식 2x+5+4=3+9, x=3/2

y=3

x+y=9/2

마지막으로 변하는 상황을 생각해야 하는 경우를살펴보자

x가 최대일때 x1, 최소일 때 x2라고 해

최대일때는 받치는 힘의 위치가 13이고, 최소일 때는 받치는 힘의 위치가 12야

그래서 위처럼 x1 x2를 각각 구해서 x1-x2 구하면 답이야

근데 식 2개를 쓰고 보니까 식 2개에서 겹치는게 많고 서로 빼고 싶네 빼봐

각각 안 구하고도 차이를 구할 수 있었네 이런거를 변화량 풀이라고 해

합치기와 마찬가지로 변화량 풀이도 정보량의 손실이 있어 주의해서 사용해야해

근데 변화량 풀이는 결국 돌림힘 식 2개를 쓰는 것과 동등해. 그러니까 식을 2개 쓰는 것이 좋아. 여차하면 빼면되잖아.

아직까지 평가원에서 변화량 풀이를 저격한 적 없지만 x1과 x2 중에서 어느 하나라도 0<x<18을 벗어나면

변화량 풀이로 차이를 잘못 구할 수 있어서 주의해야 해 저격당할수있다고

삐에로 가장왼쪽위치를 x1 가장 오른쪽 위치를 x2라한다면

가장 왼쪽일때 왼쪽받침대가 m1+m2로 받치고 가장 오른쪽일 때 오른쪽 받침대가 m1+m2로 받치니까

가 되는거야 이 문제는 삐에로가 막대를 벗어날수 없다는 가정이 없어서 오류시비 걸릴거 같은 문제야 일단 풀면 답은 나와

이 문제는 BCD를 합쳐서 보면 쉬워 x의 최대값 x2, 최솟값 x1

A가 떠받치는 힘은 크기가 4+M이고 위치는 양끝이 5하고 8이지

근데 막대 각각 돌림힘을 보면 까다로운 문제야

위아래로 저울측정값이 같으니까 f1, f2가 같어 문제는 f1구해서 10-f1이 답이야

위아래로 f1, f2에 의한 돌림힘은 안변하잖아 그걸 타우라고 해

이제 w알았으니까 아래그림에서 f2인 곳을 축으로 하면 f1구하겠네

4f1=4, f1=1 그럼 답은 9N

일단 힘 평형식 세우면 6M/5=M+m , m=M/5 네

저렇게 파란색 떠받치는힘은 받침대 왼쪽끝과 오른쪽 끝이 되야함

3x=13

x=2y

x=13/3 , y = 13/6

이렇게 모든 돌림힘 기출을 정복했어 요즘엔 쉽지만 쉽게내서 스킬 막써도 되도록 봐주는거같애

특히 평형이 깨지는 부분을 저격할 수 있는데

막대기를 합치면 합친 막대 내부에서 평형 깨지는 걸 못잡아내고

변화량 풀이로 풀면 막대기 밖을 벗어나는 것을 해결하지 못해

그러므로 변화량 풀이가 강요되지 않는 이상 식을 2개 쓰는 법을 익히는 것이 안전해

그럼 두 식을 빼서 변화량 풀이와 동등하게 x2-x1를 구할 수 있지만, 2개의 식으로 각각 x1, x2를 구해서 검증도 가능하지

다음엔 환상의 2차원 돌림힘을 쉽게풀자

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