ㅅㅂ 글자좀 예쁘게쓸껄
이상한부분이나 못알아보겠는부분있으면 말좀

보조정리로
supS=c <=>
임의의e>0에대해 S의원소x가존재 s.t. c-e<x≤c 썼음
(보조정리 증명은 필요하면 써줄게요)
수열 안들어가려면 귀류법 파티밖에 생각이안남




추가질문답변

S={c|a<c<b,f(c)=0}
사잇값정리에의해 S는 공이아니고
S는 유계이므로 완비성공리에의해 하한 i를 가진다
하한의정의에의해 i=<c<b (c는 S의원소)
a는 하계의 정의를 만족하므로 a=<i
만약 i=a라면
연속의정의에의해 다음을만족하는 d(>0)이존재
i=a=<x<a+d=i+d 이면 |f(x)-f(a)|<-f(a)(>0)
                                => f(x)<0 => x는 S원소가아니다
이는 infS=i <=> 임의의 e(>0)에대하여 S의원소 x가 존재 s.t. i=<x<i+e  에 모순이므로 a<i
따라서 a<i<b

[a,i)내의 어떤 x에 대하여 f(x)>=0이라 가정하자
f(x)=0이면 x는 S의원소이고 x<i이므로 하계의 정의에 모순
f(x)>0이면 [a,x]에서 사잇값정리에의해
f(c)=0인 (a<)c(<x<i)가존재 이는 하계의 정의에 모순
따라서 [a,i)내의 모든 x에 대하여 f(x)<0

f(i)>0이면 [a,i]에서 사잇값정리에의해
f(c)=0인 (a<)c(<i)가존재 이는 하계의 정의에 모순

f(i)<0이면 연속의정의에의해 다음을만족하는 d(>0)이존재
i=<x<i+d이면 |f(x)-f(i)|<-f(i)
                      => f(x)<0 => x는 S의원소가 아니다
이는 infS=i <=> 임의의e(>0)에대하여 S의원소 x가 존재 s.t. i=<x<i+e에 모순

따라서 f(i)=0  ■






+) 비표준해석학에서의 증명