[📃칼럼] [칼럼]이라면 칼럼인 충돌에서 질량중심 풀이의 적절성과 한계

[익명(121.64)]

그나마 물2갤에서 자주 언급되는 질량중심 풀이에 대한 개인적인 고찰을 적음

질량중심 풀이 자체는

https://gall.dcinside.com/mgallery/board/view/?id=physics2&no=353

https://cafe.naver.com/pnmath/1663366

여길 참고하도록 하자

질량중심 풀이를 간단히 요약하자면 아래의 2개라고 생각해

1. 외력이 작용하지 않으면 질량중심의 운동량은 충돌 전/후가 다르지 않다(즉, 속도가 변하지 않음)

2. 탄성충돌일 때, 충돌하는 두 물체와 질량중심 사이의 상대속도의 크기는 각각 보존된다

사실 1, 2번은 그림 한 장으로 너무 잘 요약할 수 있어

익숙한 그림이지?

물체 A, B가 탄성충돌 할 때 가장 대표적인 그림이야

특히 여기서 충돌하는 곳에 그어둔 선은 "질량중심의 이동경로"가 돼

여기서 이 충돌이 탄성충돌이기 때문에 성립하는 속도의 관계들이 있어

비례식이 왜 성립하는지까진 설명할 필요 없겠지?

근데 중요한 건 저 관계식이 충돌 후에도 어차피 같은 상황이라서 똑같이 성립한다는 거지

이걸 충돌 후 그림으로만 볼게

이렇게만 떼어놓고 보면 문제 상황에 항상 나오는 탄성충돌 상황이야

질량중심에서 각각 멀어지는 속도의 크기의 비율은 질량의 역수비라는 거지

사실 이건 탄성충돌이 아니어도 항상 성립해

대신 탄성충돌인 경우에는 특히 주황색 총 길이(B에 대한 A의 상대속도)가 충돌 전과 같다는 것까지 추가로 성립하게 돼

이렇게 보니 질량중심 풀이의 한계가 딱 보이기 시작할까?

잘 모르겠다면 먼저 우리가 자주 보는 문제상황에 대해서 보자

굉장히 특수한 상황이야

먼저 충돌 전 두 물체는 각각 x축 위에만 있으니까 질량중심도 x축 위에서만 움직이고 있어

둘째로 B가 원점에 정지해있어

특히 B가 원점에 정지해있다는 게 너무너무 특수한 상황이 되는 거야

왜냐면

C를 A와 B의 질량중심이라고 하면

충돌 전후 상황에서 C와 A의 상대속도의 크기, C와 B의 상대속도의 크기가 모두 보존되는데

B가 이미 정지하고 있으니까 C의 속도의 크기 자체가 이미 C와 B의 상대속도의 크기와 같거든

위의 칼럼에서 나오는 이등변삼각형의 조건이지

이게 첫 번째 한계야

정지한 물체에 다른 물체가 날아오는 경우에만 확보 가능한 특수성에 의존이 심해

다르게 말하자면 특수성을 확보하기 위해서 "B와 함께 움직이는 좌표계"가 설정된 상황이야

한편으로 "C와 함께 움직이는 좌표계"도 있겠지?

A와 B의 질량중심(C)은 원점에 가만히 있으니 C와 같이 움직이는 좌표계라고 보는 거야

그러니 질량중심에서 멀어지는 속력은 가볍게 1m/s라고 고르는 거고

요는 한 물체에 대해 정지한 좌표계에서만 보장되는 특수성에 의존이 심하다는 거야

또 무슨 한계가 있을까?

이건 우리가 문제를 푸는 데 있어서 정말 치명적이야

바로 상대속력의 관계가 너무나도 기하적이라는 점이지

무슨 의미냐면

이렇게 가만히 있는 v_C 끄트머리에 걸쳐진 v_CA와 v_CB의 크기가 일정한 막대가 자유롭게 회전하면서 v_A와 v_B를 결정한다는 거야

고1 수학 모의고사에서나 다룰 법한 내용이야

물리2는 주로 좌표평면에 물체들을 올려두고 크기를 구하는 "해석기하"인 반면에 질량중심은 대개 기하학에 의존하는 "논증기하"가 되지...

그래서 우리가 문제를 풀 때엔 특수각과 몇 가지 특정한 각에 크나큰 의존을 할 수밖에 없어

위의 문제점들 때문에 질량중심 풀이는 메인 풀이가 될 수 없다는 게 내 의견이야

대신에 너무나 특수한 상황을 던져주면 또 얘기가 달라져

바로 18학년도 9평이지

질량중심 풀이가 힘을 얻도록 한 문제야(난 질량중심 풀이가 너무 거품이 심하다고 생각하지만)

너무너무 특수한 상황이라는 말은 이래

첫째로 B에 대해 정지한 좌표계라는 거야

곧, B와 질량중심의 상대속도의 크기 = 질량중심의 속력이 성립해

이등변삼각형의 성립 조건이지

둘째로 충돌 전에 A, B, 질량중심 모두 x축 위에서 움직여

물론 이건 각도에 대한 질문을 하려는 밑밥이라고 볼 수 있어

왜냐면 물어보는 탄젠트값 자체가 'x축'과 이루는 각도이니까

(사실 여기까진 꼭 이 문제에 대해서만 그런 건 아니야. y축 방향 운동량을 0으로 주려는 경우가 대부분이긴 해)

마지막 백미는 주어진 각들이 너무너무 특수한 각들이란 거야

애시당초에 논증기하에 너무 적합하게 준 거지

단순히 특수각 30' 60'라는 의미가 아니야

각각의 각도를 줬는데 계산의 용이성 때문에 특수각을 준 게 아니라, 기하적 특성 때문에 특수각이 주어졌어

그래야 딱 보기에도 너무너무 특별한 삼각형이 만들어지거든

특히 4번의 저 직각이 나오기 위한 설계라고 보면 되겠어

오로지 각도와 상대속도의 크기만 가지고 모든 변의 길이가 결정돼

그러니 이 문제에선 질량중심 풀이가 극적으로 빠를 수밖에 없는 거지

이런 면에서는 또 질량중심 풀이의 강점이 너무 명명백백하긴 해

다만 질량중심으로만 문제들을 접근하기엔 우리가 직교좌표계에서 각도 계산이 능숙하지 못해

많은 문제들에선 운동량 보존과 에너지 보존의 직관적 형태인 상대속도의 크기 보존을 이용하는 게 훨씬 빨라

질량중심에 의존한 각도 계산이라든지 이런 건 우리가 문제 풀기 전부터 예측할 순 없지?

대신 문제가 너무 각도에만 의존적이라면 혹시 논증기하적인 풀이가 좋지 않을까?하는 의심은 해볼 수 있겠어

질량중심이 충돌에서 직관성을 기르는 데엔 좋은 도구라고 생각해

상대속도가 방향만 바뀐다는 얻어갈 만한 내용도 있고

기나긴 글이었지만 같이 물리2 보는 동지들끼리 이정도는 공유할 수 있지 않을까 싶은 마음에 써봤어

[그라샤(beube99)]

칼럼 퀄리티가 ㅆㅅㅌㅊ인듯.. 써줘서 고마워요

[익명(121.64)]

의식의 흐름으로 쓴 건데 그렇게 봐주시니 제가 감사합니다 ㅠㅠ

[딜라톤(snulogom)]

둘 다 움직여도 일직선이면 상관없음 - dc App

[익명(121.64)]

둘 다 일직선으로 움직이는 경우엔 질량중심이 특수성을 가질 수 있는 B와 C 사이의 상대속력=질량중심의 상대속력을 못 써먹는단 게 한계라는 거지. 아예 B에 대한 좌표계로 보면 상관이 없는데 굳이 그렇게까지 할 필요도 없고

[딜라톤(snulogom)]

ㅇㅎ 이해함 아예 각도까지 있는 경우는 못써먹는데(ex. 작년 6평), 그런 경우면 쓸 수 있는 정도이기는 함(ex. 작년 9평) 다만 말한대로 힘이 떨어지는 건 맞음 물론 이런 경우가 킬러로 나온다면 뭘로 풀어도 계산량은 극혐이겠지만

[딜라톤(snulogom)]

그런 경우에도 쓸 수 있는 이유는 질량중심에서 봤을 때 A와 B가 멀어지는 속력이 산란 각도와 무관하게 같은 건 여전히 쓸만하기때문일테고 ㅇㅇ

[익명(121.64)]

ㅇㅇㅇ 결국 논지는 오로지 각도로만 모든 조건이 주어지지 않는 이상은 논증기하보단 해석기하로 푸는 게 속도가 비슷하거나 더 빠를 때가 많단 거지

[딜라톤(snulogom)]

ㅇㅇ 맞음 사실 칼럼을 쓸 때부터 본문에 썼지만 당연히 정석적인 풀이, 교과내의 풀이(반발계수, 벡터 합성)같은 건 아는 사람에게 추가적인 도구 중 하나를 제시해주는 이상의 의미를 가지지 않았음 그러니까 교과외지만 ㅋㅋㅋ

[익명(121.64)]

맏다 ㅋㅋ 걍 진짜 도구