[📃칼럼] 용수철 단진동은 왜 y = Acoswt일까?

[펄서(whiteboxspier)]

이제 갓 물2에 입문한 물붕이가 도키도키한 심정으로

첫 관문인 포물선을 열심히 지나고 들어선 단진동 파트..

살짝의 긴장감을 딛고서 야자시간에 강의를 재생해 봅니다.

본격적인 설명을 들어보니

중력이 작용하는 시스템에서는

위 처럼 타원궤도를 움직이는 점에 정사영된 변위로

움직인다고 배웠고

중력이 없는 시스템에서는 원궤도를 등속도로

움직이는 점에 정사영된 변위로 움직인다

머 그렇게 배웠읍니다

그렇게 해서 y(t) = Acoswt 라고 배웠고

mw^2x = kx에서 주기를 유도한다고 하던데

따지고 생각해보면 이건 이해한 것 보다는

그냥 받아들인거에 가까운 것으로 보이네요.

왜 원에 등속도로 운동하는 점에 정사영이 되는거지?

그래서 y = Acoswt가

실제로는 어떻게 유도되는지,

또 어떤 원리들이 들어있는지

조금 더 상세하게 다뤄보겠읍니다.

심심할때 지하철에서 보셈

일단 용수철의 운동은 훅 법칙에서부터 시작합니다.

님들 아시는 뉴턴이랑 사이 안좋은 그분 맞음

암튼 훅 법칙의 핵심은 용수철을 늘릴수록 그 힘이

선형적으로 늘어난다는 소리인데,

사실 이건 제한적인 조건 하에 성립합니다.

훅 법칙의 표현법은 2가지입니다.

하나는 F = - ky

하나는 응력을 이용한 표현법이죠

텐서표현이라고도 합니다.

이 때 응력은 짤 처럼 어떤 기둥에 힘을 줄 때

그 단면에 가해지는 힘을 면적으로 나눈 값인데,

응력이 일단 힘은 절대 아니고...

고체 내에 작용하는 압력 정도라 보시면 되겠네요

아무튼 응력표현은 뭐 탄성계수가 있고

길이변화에 비례한다.

이건 기존에 보던 F = -ky와 크게 다르지않고

오히려 친숙합니다.

근데 이걸 굳이 왜 끼워넣었느냐?

바로 응력-변형률 선도 때문입니다.

좀 더 보기 쉽도록 x축을 △L로 뒀는데

실제 그래프에서는 변형률 ε=(△L/L0)가 x축에 있습니다.

위 그래프를 보시면 x축에 탄성영역, 소성영역이 존재합니다.

탄성영역은, 용수철을 잡아당겼다가 놓았을 때 원래대로 복구되는 범위고

소성영역은, 잡아당겼다가 놓아도 일부만 복구되고 변형이 일어나는 구간입니다.

다시말해서, 소성영역까지 용수철을 잡아당기면 우리가 아는 단진동함수는

성립하지않고 다른방식의 접근을 해야하는거죠

그리고 그래프를 보시면 알 수 있듯이, 뭔가 많이 잡아당길수록

훅의 법칙에서 말하는 응력그래프와는 멀어지는 것 같아보입니다.

훅의 법칙은 대체 뭘까요?

바로 탄성영역의, 선형적으로 증가하는 부분이 바로

훅의 법칙이 성립하는 영역입니다.

즉, 훅의 법칙을 사용하려면 다음 조건을 만족해야하는데

1.) 변위가 탄성영역 이내에서 일어나야한다.

2.) 탄성영역 이내의 응력은 선형적으로 증가해야한다.

간단하게 이정도 가정이 성립하는 환경이라면

F = -ky를 쓸 수 있게됩니다.

훅 법칙이 적용되지않는 소성영역은

보통 효율성을 따지면서 실험으로 그래프를 구하는 편이죠

그럼 본격적으로 함수를 구해봅시다.

먼저, 간단하게 계산할 수 있게 다음 시스템을 가정합니다.

이정도까지는 배운내용이니 뭐 그냥 쓰는데 간단한 표기도 하나 알고가죠

시간에 대해 미분한 변수의 경우, 오른쪽처럼 점을 두개 찍을수있습니다.

사실 x위에 점 2개찍은거나, x''(t)나 똑같은 표현인데

시간에 대해 미분했다 라고 표시를해주는거죠

그럼 바로 시작해보겠습니다.

일단 앞의 식의 계수였던 m, k는 각각 상수니

식을 간단화시켜서 위 그림처럼 나타낼 수 있습니다.

a, b도 당연히 상수고요.

그런데 이렇게 식을 세워보니

대충 y = t에 관한 식

이렇게 나타내면 우리가 원하는 식이 나온다.

이 정도는 다들 알겁니다.

즉, 위 방정식의 해를 구하면 용수철의 운동을

시간에 대해 나타낸 식이되겠네요.

복잡한 식을 풀기 앞서 더욱 간단한 식을 풀어보죠.

이 식의 해는 뭘까요?

수학자들이 첫 해인 y1 = cost, y2 = sint 라는것을 구해놓았습니다.

한 번 y'' + y = 0 에 직접 대입해보시면 빠르게 이해하실겁니다.

그런데, 아래의 y = c1y1 + c2y2도 해가 될 수 있습니다.

(단, c1, c2는 상수)

왜 그런 걸까요?

먼저 y'' + y = 0의 일반식을 써놓고

b/a를 단순화시켜 α^2 라고 두겠습니다.

이 때, y1, y2를 이 방정식의 해라고 두고

대입하면 0이 나오게 됩니다.

그리고 아까 주장한 y = c1y1 + c2y2도 넣어보니

어? 0이되네요

따라서 (c1y1 + c2y2) 이것도 해라고 볼 수 있습니다.

이렇게 y'' + ay' + by = 0 (단, 각 계수는 상수) 의 형태를 응용해서 나타낼 수 있는

방정식들을(a = 0, b = 1의 형태인 y''+ y = 0처럼) 2계 제차 선형상미분방정식

y1, y2와 같은 쌍근을(정확히는 1차독립조건도 만족해야함) 기저

y = c1y1 + c2y2는 특정 조건에서 같이 근이 될 수 있는데

이 원리를 중첩의 원리 라고 부릅니다.

그냥 뭐 이런 용어가 있구나~ 하시면 됩니다.

그러면 이제 진짜 저희가 구하고 싶은 식을

풀어보도록 하겠습니다.

먼저, 나중에 계산이 편하도록

해가 y = e^λx라고 하겠습니다.

참고로 보기에는 지수함수지만 삼각함수든 뭐든

ln을 이용해서 표기할 수 있으니

겉모습만 보고 어? 지수함수가 근이라는 보장이 없는데?

라는 생각을 전혀 하실 필요가 없습니다.

암튼 이걸 방정식에 집어넣어보면

람다가 허근 2개를 가지니까

각 기저가 다음과 같이 구해집니다.

즉, 이것들을 각각 방정식에 집어넣으면 = 0이 성립한다는거죠

그런데, 이걸 조금 다른 방식으로 표현할 수 있습니다.

바로 한번쯤 들어봤을 오일러 공식인데

이걸 이용하면 지수함수를 삼각함수화 시킬 수 있습니다.

지금 적용해보죠

아주 빠르게~

보시면 알겠지만 간단하게 바로 풀 수 있었고

중첩의 원리를 적용하는 조건이었으니

중첩의 원리를 사용하여 삼각함수형태로 식을 구성하였고

c1, c2, i 는 각각 상수이니 또 다른 상수 A, B로 정리해줍니다.

그러면 y'' + αy = 0 의 근이 깔끔하게 나타내집니다.

이걸 그~대로 용수철 미분방정식에 넣어보면

이렇게 표현되는데, cos, sin이 동시에 있으니까

그래프개형 파악이 어렵네요

저희들이 삼각함수 시간에 배운 합성공식을 써봅시다.

그러면 이제 완성되었습니다.

x가 시간에 대해 sin파를 그린다는 걸 알게되었습니다.

물론 처음에 당겼다가 용수철을 놓으니

코사인을 집어넣어볼 수도 있겠네요

물론 sin이든 cos이든 그래프 모양은 똑같습니다.

이렇게 해서 저희들은 용수철에 적용되는 훅의 법칙

그리고 간단한 미분방정식을 풀어서

왜 용수철의 움직임이 원운동하는 물체의 정사영으로

모델링 될 수 있는지 알아봤습니다.

그럼 좋은하루보내라 물붕이들아

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용수철 단진동 공식은 y=Asinwt 아닌가요?

[펄서(whiteboxspier)]

조금있다 수정 가능하묜 수정하겠습니다 ㅇㅇ,, 정확하게 말하면 y = Asin(ωt+φ)인데 (파이는 용수철의 초기 위치에 따라 달라짐) 처음 배울때는 sin으로 쓰는게 좋지만 어차피 단진동의 파동함수는 sin과 cos의 합성이기때문에 cos으로 써도 크게 문제는없습니다