Hamiltonian을 Poisson bracket을 사용해서 phase space위의 벡터장 안으로 convert 시킬때,

vector field 위의 f(p,q) = x라는 어떤 값을 만족시키는 submanifold(부분다양체) 가 주어졌다고 가정하면, (쉽게 말해 조건이 생기면)

Hamiltonian에 대응되는 vector field는 그 submanifold를 벗어나는 방향을 포함하지 않나요? (Hamiltonian 은 vector field에서 system의 흐름을 나타낼 수 있다고 배웠습니다)

그러니까 쉽게말해 phase space에서 f(p,q)를 만족시키는 submanifold만이 system이 가질 수 있는 어떤 state라고 가정하면, Hamiltonian이 만들어내는 흐름은 submanifold를 벗어나는 방향을 포함하기 때문에, 수학적으로 계산을 해봤을때 언젠가는 submanifold를 벗어나게 될 것이라고 유추할 수 있는데, 그럼 submanifold에서 벗어나는 방향을 없애줘야 submanifold에서 만들어진 흐름이 그 안에 머무를 수 있게 된다고 생각합니다

이 문제를 해결하는 방법이 있을까요? 

제가 아직 고전역학까지만 진도를 나가서.. 여기 물리과 대학생분들이 많길래 질문 드립니다