[📃칼럼] 교과외) 가우스 법칙과 페러데이 법칙

[Lagrang..(tony0485)]

라그랑이야ㅎㅎ

안녕! 라그랑이야 ㅋㅎ

이왕 한거 맥스웰 방정식은 다 끝내야할거 같아서

앙페르 법칙 할 때도 그랬지만 엄밀한 증명은 직관으로 대체할 수 밖에 없네

시작전에) 흐름률(flux)이란?

어떤 물리량f의 미소 flux는 f와 da의 스칼라 곱으로 정의된다.

이때 da는 미소 면적백터로, 미소 면적과 크기가 같고 방향은 면적이 둘러싼 공간을 수직으로 빠져 나가는 방향이다.

물리2에 나오는 flux의 예로는 자속 Φ_B(자기장의 flux)가 있어

- 가우스 법칙

자 이제 다시 쿨롱법칙을 생각해보자

저번에 설명했던 내용인데, 우리는 정지해 있는 전하가 전기장을 만들고, 그 전기장에 다른 정지해 있는 전하가 반응한다고 생각했어

점전하가 만드는 전기장은 3차원 모든 방향으로 퍼져 나가므로 4πr²에 반비례하고 전하 q에 비례한다고 생각했지

또 유전분극에 의해 생기는 전기장은 근원전하가 만드는 전기장과 반대방향이라 전기장이 감소

따라서 쿨롱법칙을 아래와 같이 생각했지

그럼 이제 구를 빠져나가는 점전하가 만드는 전기장의 flux를 구해보자.

q/ε_0라는 결과가 나왔어

구의 반지름이 어떻든간에, flux에는 영향을 주지 않는다는 거지

그렇다면, 점전하가 임의의 공간에 둘러싸여 있다면 flux는 어떻게 될까?

그림과 같이 임의의 곡면의 미소면적은 그보다 아주 약간 작은 구에 사영시켜보자

미소 면적은 da에서 (da)cosθ가 되기때문에

사영시키기 전 flux는 Ecos(θ)da이고

사영시키고 난 후 flux는 E(da)cosθ로

flux는 같다는걸 확인할 수 있지

즉, 임의의 곡선은 구에 사영시켜도 flux가 변하지 않기 때문에 점전하를 둘러싸는 곡선을 어떻게 잡아도 flux는 q/ε_0로 일정하다는 것을 알 수 있어

(직관이 아닌 정확한 수학적인 증명은 입체각을 찾아봐)

그렇다면 점전하의 외부에 폐곡면(닫힌 곡면)을 잡으면 어떻게 될까?

빨간 면의 flux와 파란 면의 flux는 크기는 같고, 부호는 반대 따라서 총 flux는 0이라는 것을 알수있어

우리가 잡은 폐곡면 외부에 있는 전하는 flux에 영향을 주지 않는다는거지.

이 때 우리가 잡은 폐곡면을 가우스 면이라 하고,

위 내용들을 정리하면 다음 식이 성립해

q_enc는 가우스 면 내부의 총전하량이고

저 인테그랄은 폐곡면에서 적분한단 뜻이야

이 식을 전기장에 대한 가우스 법칙이라고 해

그렇다면 폐곡면에 대한 자기장의 flux는 얼마일까?

자석을 생각해보자.

자석을 어떤식으로 잘라도 N극과 S극이 분리되지 않아.

따라서 가우스 면을 어떻게 잡든 그 내부에는 N극과 S극이 존재하고

자기선속은 폐곡선(닫힌 곡선)을 그리기 때문에

면을 들어오는 자기선속과 나가는 자기선속이 같아

따라서 폐곡면에서 flux는 항상 0이야

위 내용을 식으로 쓰면

이고, 이를 자기장에 대한 가우스 법칙이라고 해

이제 도체구, 부도체구, 직선, 무한한 평면이 만드는 전기장을 구해보자.

1) 도체구와 (전하밀도가 균일한) 부도체구

도체구와 부도체구의 차이점은 도체구에서 전하는 자유롭지만, 부도체구에서는 아니라는 점이야

그런데 전하는 최대한 멀리 분포하려는 성질이 있으므로 도체구의 전하는 도체구의 표면에만 존재하게 되지

(가우스 면을 대칭적으로 잡아야 계산이 쉽다.)

2) 선전하밀도가 λ인 직선 (원통)

전기장은 원통형태로 퍼져나가고,

따라서 위아래면을 수직하게 지나는 전기장은 없음을 생각한다.

3) 면전하밀도가 σ인 무한한 평면

연습문제 1) 두 도체판의 면적이 S인 평행판 축전기의 전기용량은 C, 내부를 채운 물질의 유전율은 ε이고 두 판사이의 전위차는 V이다.

내부 전기장을 구하여라.

구한 전기장과 V = Ed임을 이용하여 C를 ε, d, S로 나타내시오.

연습문제 2) 전기장만으로는 입자를 가둘 수 없음을 보이시오.

즉, 전기장만으론 안정평형점(평형상태인 전하를 임의의 방향으로 살짝 쳤을 때, 복원력이 작용하는 점)을 만들 수 없음을 증명하시오.

이를 언쇼 정리(Earnshaw's theorem)라고 한다.

(hint. 귀류법을 사용해보자.)

- 페러데이 법칙

저번에 비오 - 사바르의 법칙을 설명할 때

우리는 움직이는 전하(전류)가 자기장을 만들고, 그 자기장에 다른 움직이는 전하가 반응한다 라고 생각했었어

그런데 페러데이는 이를 역으로도 생각해봤어

자기장의 변화가 전류를 흐르게 한다고 말이야

전류가 흐르려면 전하들이 힘을 받아야 하므로 자기장의 변화가 유도 전기장을 만들고, 그 전기장에 전하가 반응하여 유도 전류가 흐른다 라고 생각할 수도 있지

고등학교 물리2에서 배운 내용을 쓰면

유도 기전력 = -dΦ_B/dt

유도기전력의 정의에 의해 좌변은

와 같지 (이때의 E는 유도전기장)

위의 내용들을 정리하면

참고

정전기장에서의 전기력은 보존력이므로

이다.

단위 길이당 n번감은 반지름이 R인 솔레노이드의 내부에서의 유도전기장을 구해보자.

가우스 법칙 2개, 페러데이 법칙, 앙페르 법칙을 통틀어서 맥스웰의 방정식이라고 한다.

그런데 앙페르 법칙은 일반적인 상황에서 성립하지 않는데 이를 맥스웰이 나중에 수정하게 되지

연습문제 1) 단위 길이당 n번감은 반지름이 R인 솔레노이드의 외부에서의 유도전기장을 구해보자.

연습문제 2) 임의의 표면전하밀도가 σ인 표면을 지날 때 정전기학의 경계조건과

임의의 표면전류밀도가 K인 표면을 지날 때 정자기학의 경계조건 다음과 같이 주어진다.

여기서 ||은 표면에 평행한 성분, ⊥은 표면에 수직한 성분임을 뜻한다.

이중 3개를 골라 증명하시오

뱌뱌

물리할래??

[ㅇㅇㅇㅇ(211.36)]

와 이런게 진짜 물리학이구나

[Pusan(spicypunchhyuk)]

ㅇㅂ - dc App

[게이바(175.223)]

개구리 따봉콘 - dc App

[익명(119.206)]

일물추

[Lagrangian(tony0485)]

ㅋㅋ 연습문제중 몇개는 기초 전자기학꺼임

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[Lagrangian(tony0485)]

[그라샤(gracias10)]

형아♡